Question

【題目】已知F1，F2是橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)的直線(xiàn)x+y=1被橢圓截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過(guò)F1的直線(xiàn)l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)△ABF2面積最大時(shí)，求直線(xiàn)l的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）y2=1；（Ⅱ）x﹣y0或x+y0.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)直線(xiàn)橢圓的過(guò)上頂點(diǎn)，得b=1，再利用點(diǎn)差法以及弦中點(diǎn)坐標(biāo)解得a2=3，即得橢圓方程；

（Ⅱ）先設(shè)直線(xiàn)l方程并與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，并以|F1F2|為底邊長(zhǎng)求△ABF2面積函數(shù)關(guān)系式，在根據(jù)基本不等式求△ABF2面積最大值，進(jìn)而確定直線(xiàn)l的方程.

（Ⅰ）直線(xiàn)x+y=1與y軸的交于（0，1）點(diǎn)，∴b=1，

設(shè)直線(xiàn)x+y=1與橢圓C交于點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），

則x1+x2，y1+y2，

∴1，1，

兩式相減可得（x1﹣x2）（x1+x2）（y1﹣y2）（y1+y2）=0，

∴，

∴ 1，

解得a2=3，

∴橢圓C的方程為y2=1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F1（，0），F2（，0），設(shè)A（x3，y3），B（x4，y4），

可設(shè)直線(xiàn)l的方程x=my，將直線(xiàn)l的方程x=my代入y2=1，可得（m2+3）y2﹣2my﹣1=0，

則y3+y4，y3y4，

|y3﹣y4|，

∴|F1F2||y3﹣y4|||y3﹣y4|，

當(dāng)且僅當(dāng)，即m=±1，△ABF2面積最大，

即直線(xiàn)l的方程為x﹣y0或x+y0.