【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為射線交曲線C于點(diǎn)A,傾斜角為α的直線l過(guò)線段OA的中點(diǎn)B且與曲線C交于P、Q兩點(diǎn).
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程及直線l的參數(shù)方程;
(2)當(dāng)直線l傾斜角α為何值時(shí), |BP|·|BQ|取最小值, 并求出|BP|·|BQ|最小值.
【答案】(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為;直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)))(2)當(dāng)時(shí),取得最小值為
【解析】
(1)由求得曲線的直角坐標(biāo)方程;先求出曲線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo),即可得到的中點(diǎn),進(jìn)而求解即可;
(2)由(1),將直線的參數(shù)方程代入到曲線的直角坐標(biāo)方程中,由參數(shù)的幾何意義可得,進(jìn)而求解即可.
(1)由題,因?yàn)?/span>,即,
因?yàn)?/span>,
所以,即,
則曲線的直角坐標(biāo)方程為,
因?yàn)樯渚交曲線于點(diǎn),所以點(diǎn)的極坐標(biāo)為,
則點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,所以的中點(diǎn)為,
所以?xún)A斜角為且過(guò)點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(2)將直線的參數(shù)方程(為參數(shù))代入曲線的方程中,
整理可得,
設(shè)、對(duì)應(yīng)的參數(shù)值分別是、,則有,
則,
因?yàn)?/span>,當(dāng),即時(shí),取得最小值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中.直線1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中.曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ.
(1)若曲線C關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng),求a的值;
(2)若A、B為曲線C上兩點(diǎn).且∠AOB,求|OA|+|OB|的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校高三共有1000位學(xué)生,為了分析某次的數(shù)學(xué)考試成績(jī),采取隨機(jī)抽樣的方法抽取了50位高三學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,得到如圖所示頻數(shù)分布表:
分組 | |||||
頻數(shù) | 3 | 11 | 18 | 12 | 6 |
(1)根據(jù)頻數(shù)分布表計(jì)算成績(jī)?cè)?/span>的頻率并計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均值(同組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替);
(2)用分層抽樣的方法從成績(jī)?cè)?/span>和的學(xué)生中共抽取5人,從這5人中任取2人,求成績(jī)?cè)?/span>和中各有1人的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=exsinx,g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)x∈[,π],證明:f(x)+g(x)(π﹣x)≥0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)生為了測(cè)試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問(wèn)題設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn),并獲得了煤氣開(kāi)關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與燒開(kāi)一壺水所用時(shí)間的一組數(shù)據(jù),且作了一定的數(shù)據(jù)處理(如下表),得到了散點(diǎn)圖(如下圖).
表中,.
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,與哪一個(gè)更適宜作燒水時(shí)間關(guān)于開(kāi)關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類(lèi)型?(不必說(shuō)明理由)
(2)根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程;
(3)若單位時(shí)間內(nèi)煤氣輸出量與旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)成正比,那么,利用第(2)問(wèn)求得的回歸方程知為多少時(shí),燒開(kāi)一壺水最省煤氣?
附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)值分別為,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某人沿固定路線開(kāi)車(chē)上班,沿途共有個(gè)紅綠燈,他對(duì)過(guò)去個(gè)工作日上班途中的路況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),得到了如表的數(shù)據(jù):
上班路上遇見(jiàn)的紅燈數(shù) | ||||||
天數(shù) |
若一路綠燈,則他從家到達(dá)公司只需用時(shí)分鐘,每遇一個(gè)紅燈,則會(huì)多耗時(shí)分鐘,以頻率作為概率的估計(jì)值
(1)試估計(jì)他平均每天上班需要用時(shí)多少分鐘?
(2)若想以不少于的概率在早上點(diǎn)前(含點(diǎn))到達(dá)公司,他最晚何時(shí)要離家去公司?
(3)公司規(guī)定,員工應(yīng)早上點(diǎn)(含點(diǎn))前打卡考勤,否則視為遲到,每遲到一次,會(huì)被罰款元.因某些客觀原因,在接下來(lái)的個(gè)工作日里,他每天早上只能從家出發(fā)去公司,求他因遲到而被罰款的期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)有位學(xué)生申請(qǐng)、、三所大學(xué)的自主招生.若每位學(xué)生只能申請(qǐng)其中一所大學(xué),且申請(qǐng)其中任何一所大學(xué)是等可能的.
(1)求恰有人申請(qǐng)大學(xué)的概率;
(2)求被申請(qǐng)大學(xué)的個(gè)數(shù)的概率分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓 的左,右焦點(diǎn),,上頂點(diǎn)為,,為橢圓上任意一點(diǎn),且的面積最大值為.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若點(diǎn).為橢圓上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn),且(為坐標(biāo)原點(diǎn)),則是否存在常數(shù),使得點(diǎn)到直線的距離為定值?若存在,求出常數(shù)和這個(gè)定值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=2n+1﹣2,數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為a1,公差為d(d≠0)的等差數(shù)列,且b1,b3,b11成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)cn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.
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