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已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別A、B，橢圓過點（0，1）且離心率e=
3
2
．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過橢圓上異于A，B兩點的任意一點P作PH⊥x軸，H為垂足，延長HP到點Q，且PQ=HP，過點B作直線l⊥x軸，連結AQ并延長交直線l于點M，N為MB的中點，試判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關系．
分析：（1）由題意得到b，然后結合離心率及條件a2=b2+c2求得a，則橢圓方程可求；
（2）設出P點的坐標及Q點的坐標，由HP=PQ得到兩點坐標的關系，把P的坐標代入橢圓方程可得Q點的軌跡方程，寫出直線AQ的方程，取x=2得到M的坐標，由中點坐標公式求出N的坐標，得到向量
OQ
，
NQ
的坐標，求其數量積即可得到答案．
解答：解：（1）因為橢圓經過點（0，1），所以b=1，又橢圓的離心率e=
3
2
得
c
a
=
3
2
，
即3a2=4c2，由a2=b2+c2得a2=1+c2，所以a=2，
故所求橢圓方程為
x2
4
+y2=1；
（2）直線QN與圓O相切．
事實上，設P（x0，y0），則
x02
4
+y02=1，設Q（x，y），∵HP=PQ，∴x=x0，y=2y0
即x0=x，y0=
1
2
y，將（x0，y0）代入
x02
4
+y02=1，得x2+y2=4，
所以Q點在以O為圓心，2為半徑的圓上，即Q點在以AB為直徑的圓O上．
又A（-2，0），直線AQ的方程為y=
2y0
x0+2
(x+2)，令x=2，則M(2，
8y0
x0+2
)，
又B（2，0），N為MB的中點，∴N(2，
4y0
x0+2
)，
OQ
=(x0，2y0)，
NQ
=(x0-2，
2x0y0
x0+2
)
∴
OQ
•
NQ
=x0(x0-2)+2y0•
2x0y0
x0+2

=x0(x0-2)+
4x0y02
x0+2
=x0（x0-2）+x0（2-x0）=0，∴
OQ
⊥
NQ
，∴直線QN與圓O相切．
點評：本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關系，訓練了利用向量的數量積判斷垂直關系，體現了“設而不求”的解題思想方法，屬難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F2，左頂點為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標準方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的頂點），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點F（-c，0）是長軸的一個四等分點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當點D到兩焦點的距離之和為4，直線l⊥x軸時，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經過點M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當m=-1時，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內心的橫坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點，且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設點M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點，若N為AB的中點，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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