【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(xiàn)(x)=f(x)﹣g(x).
(1)若x=0是F(x)的極值點,求a的值;
(2)當(dāng) a=1時,設(shè)P(x1 , f(x1)),Q(x2 , g(x2))(x1>0,x2>0),且PQ∥x軸,求P、Q兩點間的最短距離;
(3)若x≥0時,函數(shù)y=F(x)的圖象恒在y=F(﹣x)的圖象上方,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解: F(x)=ex+sinx﹣ax,F(xiàn)′(x)=ex+cosx﹣a.

因為x=0是F(x)的極值點,所以F′(0)=1+1﹣a=0,a=2.

又當(dāng)a=2時,若x<0,F(xiàn)'(x)=ex+cosx﹣a<0;若x>0,F(xiàn)'(x)=ex+cosx﹣a>0.

∴x=0是F(x)的極小值點,

∴a=2符合題意.


(2)解:∵a=1,且PQ∥x軸,由f(x1)=g(x2)得: ,

所以

令h(x)=ex+sinx﹣x,h′(x)=ex+cosx﹣1>0,當(dāng)x>0時恒成立.

∴x∈[0,+∞)時,h(x)的最小值為h(0)=1.

∴|PQ|min=1.


(3)解:令φ(x)=F(x)﹣F(﹣x)=ex﹣ex+2sinx﹣2ax.

則φ′(x)=ex+ex+2cosx﹣2a.S(x)=φ′′(x)=ex﹣ex﹣2sinx.

因為S′(x)=ex+ex﹣2cosx≥0當(dāng)x≥0時恒成立,

所以函數(shù)S(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,

∴S(x)≥S(0)=0當(dāng)x∈[0,+∞)時恒成立;

因此函數(shù)φ′(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,φ′(x)≥φ′(0)=4﹣2a當(dāng)x∈[0,+∞)時恒成立.

當(dāng)a≤2時,φ′(x)≥0,φ(x)在[0,+∞)單調(diào)遞增,即φ(x)≥φ(0)=0.

故a≤2時F(x)≥F(﹣x)恒成立.


【解析】(1)、根據(jù)題意先求出函數(shù)F(x)的函數(shù)表達式,再求出其導(dǎo)函數(shù)F′(x),令F′(0)=0便可求出a的值;(2)、根據(jù)題意可知(x1)=g(x2),令h(x)=x2﹣x1=ex+sinx﹣x,求出其導(dǎo)函數(shù),進而求得h(x)的最小值即為P、Q兩點間的最短距離;(3)、令φ(x)=F(x)﹣F(﹣x),求出其導(dǎo)函數(shù),便可求出φ(x)的單調(diào)性,進而可求得a的取值范圍.
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的極值的相關(guān)知識點,需要掌握極值反映的是函數(shù)在某一點附近的大小情況才能正確解答此題.

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1寫出從藥物釋放開始,每立方米空氣中的含藥量毫克與時間小時之間的函數(shù)關(guān)系式;

2據(jù)測定,當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時,學(xué)生方可進教室。那么藥物釋放開始,至少需要經(jīng)過多少小時后,學(xué)生才能回到教室?

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x

2

4

5

6

8

y

30

40

60

50

70

xy之間是線性相關(guān)關(guān)系,請求出維護費用y關(guān)于x的線性回歸直線方程;

若規(guī)定當(dāng)維護費用y超過千元時,該批空調(diào)必須報度,試根據(jù)的結(jié)論求該批空調(diào)使用年限的最大值結(jié)果取整數(shù)參考公式:,

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