Question

【題目】已知四棱錐，底面為矩形，側面平面，.，若點M為的中點，則下列說法正確的個數為（ ）

（1）平面 （2）四棱錐的體積為12

（3）平面 （4）四棱錐外接球的表面積為

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

作出圖象，根據相關知識即可判斷各命題的真假．

作出圖象，如圖所示：，

對于（1），因為側面平面，而底面為矩形，所以平面，即有，而，點M為的中點，所以，故平面，（1）正確；

對于（2），因為側面平面，，所以點到平面的距離為，而點M為的中點，所以點到平面的距離為，故四棱錐的體積為，（2）正確；

對于（3），取中點，連接，所以，且，而，

故，且，因此四邊形為梯形，所以與的延長線交于一點，故直線與平面相交，所以（3）不正確；

對于（4），根據四棱錐的側面為直角三角形，底面為矩形，結合球的幾何特征可知，四棱錐的外接球的球心在過底面的外心且與底面垂直的直線上，同樣，四棱錐的外接球的球心在過側面的外心(的中點)且與側面垂直的直線上，所以四棱錐的外接球的球心即是底面的外心，外接球半徑為，故四棱錐外接球的表面積為，（4）正確．

故選：C．