【題目】如圖，在平面四邊形中，等邊三角形，，以為折痕將折起，使得平面平面．

（1）設(shè)為的中點，求證：平面；

（2）若與平面所成角的正切值為，求二面角的余弦值．

【答案】(1)見證明；(2)

【解析】

（1）推導(dǎo)出平面，從而，再求出，由此能證明平面．

（2）由平面，知即為與平面所成角，從而在直角中，，以為坐標(biāo)原點，分別以，所在的方向作為軸、軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量法能求出二面角的余弦值．

證明：（1）因為平面平面，

平面平面，平面，，

所以平面．

又平面，所以．

在等邊中，因為為的中點，所以．

因為，，，

所以平面．

（2）解：由（1）知平面，所以即為與平面所成角，

于是在直角中，．

以為坐標(biāo)原點，分別以，所在的方向作為軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)等邊的邊長為，

則，，，，，

，，，.

設(shè)平面的一個法向量為，

則，即，

令，則，，于是.

設(shè)平面的一個法向量為，

則，即，

解得，令，則，于是．

所以.

由題意知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在四棱錐中，，.M為CD的中點.

（1）若點E為PC的中點，求證：BE∥平面PAD；

（2）當(dāng)平面PBD⊥平面ABCD時，求點A到平面CEM的距離.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】改革開放以來，伴隨著我國經(jīng)濟持續(xù)增長，戶均家庭教育投入戶均家庭教育投入是指一個家庭對家庭成員教育投入的總和也在不斷提高我國某地區(qū)2012年至2018年戶均家庭教育投入單位：千元的數(shù)據(jù)如表：

年份

2012

2013

2014

2015

2016

2017

2018

年份代號t

1

2

3

4

5

6

7

戶均家庭教育投入y

求y關(guān)于t的線性回歸方程；

利用中的回歸方程，分析2012年至2018年該地區(qū)戶均家庭教育投入的變化情況，并預(yù)測2019年該地區(qū)戶均家庭教育投入是多少．

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：，．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量表得如下頻數(shù)分布表：

質(zhì)量指標(biāo)值分組

[75，85)

[85，95)

[95，105)

[105，115)

[115，125)

頻數(shù)

6

26

38

22

8

（I）在答題卡上作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

（II）估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（III）根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】把半橢圓與圓弧合成的曲線稱作“曲圓”，其中F為半橢圓的右焦點，A是圓弧與x軸的交點，過點F的直線交“曲圓”于P，Q兩點，則的周長取值范圍為______

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2019年2月13日《煙臺市全民閱讀促進條例》全文發(fā)布，旨在保障全民閱讀權(quán)利，培養(yǎng)全民閱讀習(xí)慣，提高全民閱讀能力，推動文明城市和文化強市建設(shè)．某高校為了解條例發(fā)布以來全校學(xué)生的閱讀情況，隨機調(diào)查了200名學(xué)生每周閱讀時間（單位：小時）并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）求這200名學(xué)生每周閱讀時間的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代表）；

（2）由直方圖可以認為，目前該校學(xué)生每周的閱讀時間服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．

（i）一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率進行計算：若，令，則，且．利用直方圖得到的正態(tài)分布，求．

（ii）從該高校的學(xué)生中隨機抽取20名，記表示這20名學(xué)生中每周閱讀時間超過10小時的人數(shù)，求（結(jié)果精確到0.0001）以及的數(shù)學(xué)期望．

參考數(shù)據(jù)：，．若，則.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點E（﹣4，0）和F（4，0），過點E的直線l與過點F的直線m相交于點M，設(shè)直線l的斜率為k1，直線m的斜率為k2，如果k1k2．

（1）記點M形成的軌跡為曲線C，求曲線C的軌跡方程．

（2）已知P（2，m）、Q（2，﹣m）（m＞0）是曲線C上的兩點，A，B是曲線C上位于直線PQ兩側(cè)的動點，當(dāng)A，B運動時，滿足∠APQ＝∠BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知點在圓柱的底面圓上，為圓的直徑．

（1）若圓柱的體積為，，，求異面直線與所成的角（用反三角函數(shù)值表示結(jié)果）；

（2）若圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，四面體的外接球為球，求兩點在球上的球面距離．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在三棱錐中，是正三角形，面面，，，、分別是、的中點．

（1）證明：；

（2）求二面角的余弦值．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案