【題目】已知橢圓E:=1(a>b>0)的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點,直線l:y=-x+3與橢圓E有且只有一個公共點T.
(1)求橢圓E的方程及點T的坐標;
(2)設O是坐標原點,直線l'平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點A,B,且與直線l交于點P,證明:存在常數λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.
【答案】(1)=1,點T的坐標為(2,1);(2)存在常數λ=,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|.
【解析】試題分析:
(1)由題意得橢圓E中a=b,故橢圓E的方程為=1.把y=-x+3與橢圓E的方程聯(lián)立消元后得到二次方程,由直線與橢圓有且只有一個公共點得到方程的判別式為0,可得b2=3,且得到方程的解為x=2,進而得到點T的坐標.(2)設直線l'的方程為y=x+m,并求出直線l'與直線l的交點P,可得;再根據直線l'與橢圓的方程可得|PA|=,|PB|=,計算可得|PA|·|PB|=m2,比較可得存在常數λ=,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|.
試題解析:
(1)∵橢圓E的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點,
∴a=b,
∴橢圓E的方程為=1.
由消去y整理得3x212x+(182b2)=0. ①
方程①的判別式為Δ=24(b23),
由Δ=0,得b2=3,
此時方程①的解為x=2,
∴橢圓E的方程為=1,點T的坐標為(2,1).
(2)由已知可設直線l'的方程為y=x+m(m≠0),
由方程組可得
∴點P的坐標為,
∴.
由消去y整理得3x2+4mx+(4m212)=0. ②
方程②的判別式為Δ=16(92m2).
由Δ>0,得<m<.
設點A,B的坐標分別為A(x1,y1),B(x2,y2).
則x1+x2=,x1x2=.
∴|PA|==,
同理|PB|=.
∴|PA|·|PB|==
=m2.
由|PT|2=λ|PA|·|PB|可得λ=.
∴存在常數λ=,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|.
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【題目】已知曲線的參數方程為(為參數).以平面直角坐標系的原點為極點, 軸的正半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標系,設直線的極坐標方程為.
(1)求曲線和直線的普通方程;
(2)設為曲線上任意一點,求點到直線的距離的最值.
【答案】(1), ;(2)最大值為,最小值為
【解析】試題分析:(1)根據參數方程和極坐標化普通方程化法即易得結論的普通方程為;直線的普通方程為.(2)求點到線距離問題可借助參數方程,利用三角函數最值法求解即可故設, .即可得出最值
解析:(1)根據題意,由,得, ,
由,得,
故的普通方程為;
由及, 得,
故直線的普通方程為.
(2)由于為曲線上任意一點,設,
由點到直線的距離公式得,點到直線的距離為
.
∵ ,
∴ ,即 ,
故點到直線的距離的最大值為,最小值為.
點睛:首先要熟悉參數方程和極坐標方程化普通方程的方法,第一問基本屬于送分題所以務必抓住,對于第二問可以總結為一類題型,借助參數方程設點的方便轉化為三角函數最值問題求解
【題型】解答題
【結束】
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【題目】已知函數,.
(1)解關于的不等式;
(2)若函數的圖象恒在函數圖象的上方,求的取值范圍.
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【題目】在平面直角坐標系中,已知點,,動點不在軸上,直線、的斜率之積.
(Ⅰ)求動點的軌跡方程;
(Ⅱ)經過點的兩直線與動點的軌跡分別相交于、兩點。是否存在常數,使得任意滿足的直線恒過線段的中點?請說明理由.
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【題目】如下圖,在平面直角坐標系xOy中,點A(0,3),直線l:y=2x-4.設圓C的半徑為1,圓心在l上.
(1)若圓心C也在直線y=x-1上,過點A作圓C的切線,求切線的方程;
(2)若圓C上存在點M,使MA=2MO,求圓心C的橫坐標a的取值范圍.
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【題目】已知是拋物線的焦點,關于軸的對稱點為,曲線上任意一點滿足;直線和直線的斜率之積為.
(1)求曲線的方程;
(2)過且斜率為正數的直線與拋物線交于兩點,其中點在軸上方,與曲線交于點,若的面積為的面積為,當時,求直線的方程.
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【題目】已知圓C1的參數方程為 (φ為參數),以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,圓C2的極坐標方程為.
(1)將圓C1的參數方程化為普通方程,將圓C2的極坐標方程化為直角坐標方程;
(2)圓C1、C2是否相交,若相交,請求出公共弦的長;若不相交,請說明理由.
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