設函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上的導函數(shù)為f′(x),f′(x)在區(qū)間(a,b)上的導函數(shù)為f″(x),若在區(qū)間(a,b)上f″(x)<0恒成立,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上為“凸函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=
1
12
x4-
1
3
x3-
3
2
x2
在區(qū)間(a,b)上為“凸函數(shù)”,則b-a的最大值為( 。
A、4B、3C、2D、1
分析:利用導數(shù)的運算法則可得f′(x),f(x).由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上為“凸函數(shù)”,
可得:在區(qū)間(a,b)上f″(x)<0恒成立,解得即可.
解答:解:∵函數(shù)f(x)=
1
12
x4-
1
3
x3-
3
2
x2
,∴f(x)=
1
3
x3-x2-3x
,
∴f(x)=x2-2x-3,
∵函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上為“凸函數(shù)”,
∴在區(qū)間(a,b)上f″(x)<0恒成立,
由x2-2x-3<0,解得-1<x<3.
∴a=-1,b=3,
∴b-a=3-(-1)=4.
故選:A.
點評:本題考查了導數(shù)的運算法則、“凸函數(shù)”的定義,屬于基礎題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)y=f(x)在(-∞,+∞)內有定義.對于給定的正數(shù)K,定義函數(shù) fk(x)=
f(x),f(x)≤K
K,f(x)>K
,取函數(shù)f(x)=2-x-e-x.若對任意的x∈(+∞,-∞),恒有fk(x)=f(x),則( 。
A、K的最大值為2
B、K的最小值為2
C、K的最大值為1
D、K的最小值為1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)y=f(x)在(-∞,+∞)內有定義,對于給定的正數(shù)K,定義函數(shù):fK(x)=
f(x)
1
f(x)
f(x)≤K
 
f(x)>K
,取函數(shù)f(x)=(
1
2
)|x|
,當K=
1
2
時,函數(shù)fK(x)的值域是
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)y=f(x)在(a,b)上的導數(shù)為f′(x),f′(x)在(a,b)上的導數(shù)為f″(x),若在(a,b)上,f″(x)<0恒成立,則稱函數(shù)f(x)在(a,b)上為“凸函數(shù)”.若函數(shù)f(x)=
1
12
x4-
1
6
mx3-
3
2
x2
為區(qū)間(-1,3)上的“凸函數(shù)”,則m=
2
2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)y=f(x)在(-∞,+∞)上滿足f(-x)=f(4+x),f(4-x)=f(10+x),且在閉區(qū)間[0,7]上,f(x)=0僅有兩個根x=1和x=3,則方程f(x)=0在閉區(qū)間[-2011,2011]上根的個數(shù)有
805
805

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)y=f(x)在(-∞,+∞)內有定義.對于給定的正數(shù)K,定義函數(shù)fk(x)=
f(x),f(x)≥K
K,f(x)<K
,取函數(shù)f(x)=2+x+e-x.若對任意的x∈(+∞,-∞),恒有fk(x)=f(x),則(  )

查看答案和解析>>

同步練習冊答案