【題目】已知正方形ABCD,E,F分別為AB,CD的中點(diǎn),將△ADE沿DE折起,使△ACD為等邊三角形,如圖所示,記二面角A-DE-C的大小為.
(1)證明:點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上;
(2)求角的正弦值.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】
(1)過點(diǎn)作平面,垂足為,連接,.證明在的垂直平分線上,則點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在直線上,
(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以所在直線為軸,所在直線為軸,過點(diǎn)作平行于的向量為軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方形的邊長為,分別求出平面與平面的一個(gè)法向量,由兩法向量所成角的余弦值可得角的正弦值.
(1)證明:過點(diǎn)A作AG⊥平面BCDE,垂足為G,連接GC,GD.
因?yàn)椤?/span>ACD為等邊三角形,所以AC=AD,所以點(diǎn)G在CD的垂直平分線上.
又因?yàn)?/span>EF是CD的垂直平線,所以點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上.
另證:過點(diǎn)A作AG⊥EF,再證AG⊥CD,從而證得AG⊥平面BCDE,
即點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上
(2)解:以G為坐標(biāo)原點(diǎn),GA所在直線為z軸,GF所在直線為y軸,過點(diǎn)G作平行于DC的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)正方形ABCD的邊長為2a,連接AF,
則 ,,
所以
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,
令,得,又平面的一個(gè)法向量
所以,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( )
A.的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.的圖像關(guān)于直線對(duì)稱
C.的最大值為D.是周期函數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都大于2,則稱這個(gè)數(shù)列為“阿當(dāng)數(shù)列”.
(1)若數(shù)列為“阿當(dāng)數(shù)列”,且,,,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)是否存在首項(xiàng)為1的等差數(shù)列為“阿當(dāng)數(shù)列”,且其前項(xiàng)和滿足?若存在,請(qǐng)求出的通項(xiàng)公式;若不存在,請(qǐng)說明理由.
(3)已知等比數(shù)列的每一項(xiàng)均為正整數(shù),且為“阿當(dāng)數(shù)列”,,,當(dāng)數(shù)列不是“阿當(dāng)數(shù)列”時(shí),試判斷數(shù)列是否為“阿當(dāng)數(shù)列”,并說明理由.
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【題目】2021年起,福建省高考將實(shí)行“3+1+2”新高考.“3”是統(tǒng)一高考的語文、數(shù)學(xué)和英語三門;“1”是選擇性考試科目,由考生在物理、歷史兩門中選一門;“2”也是選擇性考試科目,由考生從化學(xué)、生物、地理、政治四門中選擇兩門,則某考生自主選擇的“1+2”三門選擇性考試科目中,歷史和政治均被選擇到的概率是( )
A.B.C.D.
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【題目】已知集合,若對(duì)于任意實(shí)數(shù)對(duì),存在,使成立,則稱集合是“垂直對(duì)點(diǎn)集” .給出下列四個(gè)集合:
① ;
②;
③ ;
④.
其中是“垂直對(duì)點(diǎn)集”的序號(hào)是( ).
A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④
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【題目】已知正方形ABCD,E,F分別為AB,CD的中點(diǎn),將△ADE沿DE折起,使△ACD為等邊三角形,如圖所示,記二面角A-DE-C的大小為.
(1)證明:點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上;
(2)求角的正弦值.
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【題目】定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件:①對(duì)任意的恒有成立;②當(dāng)時(shí),.記函數(shù),若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A.B.C.D.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若為單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍;
(2)若函數(shù)僅一個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若點(diǎn)為點(diǎn)在平面上的正投影,則記.如圖,在棱長為的正方體中,記平面為,平面為,點(diǎn)是棱上一動(dòng)點(diǎn)(與、不重合),.給出下列三個(gè)結(jié)論:
①線段長度的取值范圍是;
②存在點(diǎn)使得平面;
③存在點(diǎn)使得.
其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是( )
A.①②③B.②③C.①③D.①②
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