【題目】已知正方形ABCD,E,F分別為AB,CD的中點(diǎn),將△ADE沿DE折起,使△ACD為等邊三角形,如圖所示,記二面角A-DE-C的大小為.
(1)證明:點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上;
(2)求角的正弦值.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】
(1)過點(diǎn)作平面,垂足為,連接,.證明在的垂直平分線上,則點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在直線上,
(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以所在直線為軸,所在直線為軸,過點(diǎn)作平行于的向量為軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方形的邊長為,分別求出平面與平面的一個法向量,由兩法向量所成角的余弦值可得角的正弦值.
(1)證明:過點(diǎn)A作AG⊥平面BCDE,垂足為G,連接GC,GD.
因?yàn)椤?/span>ACD為等邊三角形,所以AC=AD,所以點(diǎn)G在CD的垂直平分線上.
又因?yàn)?/span>EF是CD的垂直平線,所以點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上.
另證:過點(diǎn)A作AG⊥EF,再證AG⊥CD,從而證得AG⊥平面BCDE,
即點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上
(2)解:以G為坐標(biāo)原點(diǎn),GA所在直線為z軸,GF所在直線為y軸,過點(diǎn)G作平行于DC的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)正方形ABCD的邊長為2a,連接AF,
則 ,,
所以
設(shè)平面的一個法向量為,則,
令,得,又平面的一個法向量
所以,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有以下命題:
①若函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),則f(x)的值域?yàn)?/span>{0};
②若函數(shù)f(x)是偶函數(shù),則f(|x|)=f(x);
③若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),則f(x)不存在反函數(shù);
④若函數(shù)f(x)存在反函數(shù)f﹣1(x),且f﹣1(x)與f(x)不完全相同,則f(x)與f﹣1(x)圖象的公共點(diǎn)必在直線y=x上;
其中真命題的序號是 .(寫出所有真命題的序號)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中(圖1),,,為線段上的點(diǎn),且.以為折線,把翻折,得到如圖2所示的圖形,為的中點(diǎn),且,連接.
(1)求證:;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若定義域均為D的三個函數(shù)f(x),g(x),h(x)滿足條件:對任意x∈D,點(diǎn)(x,g(x)與點(diǎn)(x,h(x)都關(guān)于點(diǎn)(x,f(x)對稱,則稱h(x)是g(x)關(guān)于f(x)的“對稱函數(shù)”.已知g(x)=,f(x)=2x+b,h(x)是g(x)關(guān)于f(x)的“對稱函數(shù)”,且h(x)≥g(x)恒成立,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正方形ABCD,E,F分別為AB,CD的中點(diǎn),將△ADE沿DE折起,使△ACD為等邊三角形,如圖所示,記二面角A-DE-C的大小為.
(1)證明:點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上;
(2)求角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著小汽車的普及,“駕駛證”已經(jīng)成為現(xiàn)代人“必考”的證件之一.若某人報名參加了駕駛證考試,要順利地拿到駕駛證,他需要通過四個科目的考試,其中科目二為場地考試.在一次報名中,每個學(xué)員有5次參加科目二考試的機(jī)會(這5次考試機(jī)會中任何一次通過考試,就算順利通過,即進(jìn)入下一科目考試;若5次都沒有通過,則需重新報名),其中前2次參加科目二考試免費(fèi),若前2次都沒有通過,則以后每次參加科目二考試都需要交200元的補(bǔ)考費(fèi).某駕校對以往2000個學(xué)員第1次參加科目二考試進(jìn)行了統(tǒng)計,得到下表:
考試情況 | 男學(xué)員 | 女學(xué)員 |
第1次考科目二人數(shù) | 1200 | 800 |
第1次通過科目二人數(shù) | 960 | 600 |
第1次未通過科目二人數(shù) | 240 | 200 |
若以上表得到的男、女學(xué)員第1次通過科目二考試的頻率分別作為此駕校男、女學(xué)員每次通過科目二考試的概率,且每人每次是否通過科目二考試相互獨(dú)立.現(xiàn)有一對夫妻同時在此駕校報名參加了駕駛證考試,在本次報名中,若這對夫妻參加科目二考試的原則為:通過科目二考試或者用完所有機(jī)會為止.
(1)求這對夫妻在本次報名中參加科目二考試都不需要交補(bǔ)考費(fèi)的概率;
(2)若這對夫妻前2次參加科目二考試均沒有通過,記這對夫妻在本次報名中參加科目二考試產(chǎn)生的補(bǔ)考費(fèi)用之和為元,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若四面體ABCD的三組對棱分別相等,即,,,給出下列結(jié)論:
①四面體ABCD每組對棱相互垂直;
②四面體ABCD每個面的面積相等;
③從四面體ABCD每個頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于而小于;
④連接四面體ABCD每組對棱中點(diǎn)的線段相互垂直平分;
⑤從四面體ABCD每個頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長可作為一個三角形的三邊長.
其中正確結(jié)論的序號是( )
A.②④⑤B.①②④⑤C.①③④D.②③④⑤
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“紋樣”是中國藝術(shù)寶庫的瑰寶,“火紋”是常見的一種傳統(tǒng)紋樣,為了測算某火紋紋樣(如圖陰影部分所示)的面積,作一個邊長為3的正方形將其包含在內(nèi),并向該正方形內(nèi)隨機(jī)投擲2000個點(diǎn),己知恰有800個點(diǎn)落在陰影部分,據(jù)此可估計陰影部分的面積是
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】業(yè)界稱“中國芯”迎來發(fā)展和投資元年,某芯片企業(yè)準(zhǔn)備研發(fā)一款產(chǎn)品,研發(fā)啟動時投入資金為A(A為常數(shù))元,之后每年會投入一筆研發(fā)資金,n年后總投入資金記為,經(jīng)計算發(fā)現(xiàn)當(dāng)時,近似地滿足,其中,為常數(shù),.已知3年后總投入資金為研發(fā)啟動是投入資金的3倍,問:
(1)研發(fā)啟動多少年后,總投入資金是研發(fā)啟動時投入資金的8倍;
(2)研發(fā)啟動后第幾年投入的資金最多?
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