【題目】一青蛙從點(diǎn)開始依次水平向右和豎直向上跳動(dòng),其落點(diǎn)坐標(biāo)依次是,(如圖所示,坐標(biāo)以已知條件為準(zhǔn)),表示青蛙從點(diǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程.
(1)若點(diǎn)為拋物線()準(zhǔn)線上一點(diǎn),點(diǎn)均在該拋物線上,并且直線經(jīng)過(guò)該拋物線的焦點(diǎn),證明.
(2)若點(diǎn)要么落在所表示的曲線上,要么落在所表示的曲線上,并且,試寫出(不需證明);
(3)若點(diǎn)要么落在所表示的曲線上,要么落在所表示的曲線上,并且,求的表達(dá)式.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3).
【解析】
試題分析:(1)直接借助題設(shè)求解即可獲證;(2)運(yùn)用題設(shè)條件和極限思想表示出來(lái)再求解即可;(3)運(yùn)用題設(shè)中提供的信息分類進(jìn)行求解.
試題解析:(1)設(shè),由于青蛙依次向右向上跳動(dòng),
所以,,由拋物線定義知:.
(2)依題意,,,()
隨著的增大,點(diǎn)無(wú)限接近點(diǎn),
橫向路程之和無(wú)限接近,縱向路程之和無(wú)限接近,
所以.
(3)方法一:設(shè)點(diǎn),則題意,的坐標(biāo)滿足如下遞推關(guān)系:
,且,()
其中,
∴,即,
∴是以為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,
∴,
所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,于是,
又,
∴當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,,
當(dāng)為偶數(shù)時(shí),
當(dāng)為奇數(shù)時(shí),
所以,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),
當(dāng)為奇數(shù)時(shí),
所以,.
方法二:由題意知,,,,,,…
其中,,,,…
,,,…
觀察規(guī)律可知:下標(biāo)為奇數(shù)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為首項(xiàng)為,公比為4的等比數(shù)列,相鄰橫坐標(biāo)之差為首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列,下標(biāo)為偶數(shù)的點(diǎn)也有此規(guī)律,并由數(shù)學(xué)歸納法可以證明.
所以,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),
當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,
當(dāng)為偶數(shù)時(shí),
當(dāng)為奇數(shù)時(shí),
所以,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物已經(jīng)被大多數(shù)人接受,隨著時(shí)間的推移,網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物的人越來(lái)越多,然而也有部分人對(duì)網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物的質(zhì)量和信譽(yù)產(chǎn)生懷疑。對(duì)此,某新聞媒體進(jìn)行了調(diào)查,在所有參與調(diào)查的人中,持“支持”和“不支持”態(tài)度的人數(shù)如下表所示:
年齡 態(tài)度 | 支持 | 不支持 |
20歲以上50歲以下 | 800 | 200 |
50歲以 (含50歲) | 100 | 300 |
(1)在所有參與調(diào)查的人中,用分層抽樣的方法抽取個(gè)人,已知從持“支持”態(tài)度的人中抽取了9人,求的值;
(2)是否有99.9%的把握認(rèn)為支持網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物與年齡有關(guān)?
參考數(shù)據(jù):
,其中,
0.05 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某漁場(chǎng)魚群的最大養(yǎng)殖量為噸,為保證魚群的生長(zhǎng)空間,實(shí)際的養(yǎng)殖量要小于,留出適當(dāng)?shù)目臻e量,空閑量與最大養(yǎng)殖量的比值叫空閑率,已知魚群的年增加量(噸)和實(shí)際養(yǎng)殖量(噸)與空閑率的乘積成正比(設(shè)比例系數(shù)).
(1)寫出與的函數(shù)關(guān)系式,并指出定義域;
(2)求魚群年增長(zhǎng)量的最大值;
(3)當(dāng)魚群年增長(zhǎng)量達(dá)到最大值時(shí),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(,且).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若存在,使得(是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,過(guò)拋物線上一點(diǎn),作兩條直線分別交拋物線于,當(dāng)與的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí):
(1)求的值;
(2)若直線在軸上的截距時(shí),求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某生態(tài)園將一三角形地塊的一角開辟為水果園種植桃樹,已知角為,的長(zhǎng)度均大于米,現(xiàn)在邊界處建圍墻,在處圍竹籬笆.
(1)若圍墻總 長(zhǎng)度為米,如何圍可使得三角形地塊的面積最大?
(2)已知段圍墻高米,段圍墻高米,造價(jià)均為每平方米元.若圍圍墻用了元,問(wèn)如何圍可使竹籬笆用料最?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是上的偶函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)判斷并證明函數(shù)在上單調(diào)性;
(3)求函數(shù)在上的最大值與最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列命題中正確的是
A. 若直線與平面平行,則與平面內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn);
B. 若直線與平面平行,則與平面內(nèi)的任意一條直線都平行;
C. 若直線上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面 內(nèi),則;
D. 如果兩條平行線中的一條與一個(gè)平面平行,那么另一條也與這個(gè)平面平行.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知向量.
(1)若分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時(shí)第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),求滿足的概率;
(2)若在連續(xù)區(qū)間上取值,求滿足的概率.
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