【題目】在△ABC中,a,b,c分別是角A、B、C的對邊,x=(2a+c,b),y=(cosB,cosC),且x·y=0.
(1)求B的大小;
(2)若b=,求||的最小值.
【答案】(1) B=π. (2) ||的最小值為1,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=1時取“=”.
【解析】
試題分析: (1)由兩向量的坐標(biāo)及兩向量的數(shù)量積為0,利用平面向量的數(shù)量積運算法則列出關(guān)系式,再利用正弦定理化簡后,利用誘導(dǎo)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡,根據(jù)與都為三角形的內(nèi)角,利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出 的值;
(2)由 與 的值,利用余弦定理列出關(guān)系式,整理后利用基本不等式即可求出||的最小值
試題解析:( (1)x·y=(2a+c)cosB+bcosC=0,由正弦定理得,
2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0,
∴2sinAcosB+sin(B+C)=0,
∴sinA(2cosB+1)=0.
∵A,B∈(0,π),∴sinA≠0,cosB=-,
∴B=π.
(2)由余弦定理知
∴|+|2=c2+a2+2accosπ=c2+a2-ac=a2+c2+ac-2ac=3-2ac≥3-2=1.
∴|+|的最小值為1,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=1時取“=”.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
兩縣城A和B相聚20km,現(xiàn)計劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點C建造垃圾處理廠,其對城市的影響度與所選地點到城市的的距離有關(guān),對城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和,記C點到城A的距離為x km,建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y,統(tǒng)計調(diào)查表明:垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點到城A的距離的平方成反比,比例系數(shù)為4;對城B的影響度與所選地點到城B的距離的平方成反比,比例系數(shù)為k ,當(dāng)垃圾處理廠建在的中點時,對稱A和城B的總影響度為0.0065.(1)將y表示成x的函數(shù);(11)討論(1)中函數(shù)的單調(diào)性,并判斷弧上是否存在一點,使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最。咳舸嬖,求出該點到城A的距離,若不存在,說明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知傾斜角為的直線經(jīng)過點.以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為
(1)寫出曲線的普通方程;
(2)若直線與曲線有兩個不同的交點,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)向量a=(sinx-1,1),b=(sinx+3,1),c=(-1,-2),d=(k,1),k∈R.
(1)若x∈[-,],且a∥(b+c),求x的值;
(2)若存在x∈R,使得(a+d)⊥(b+c),求k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若橢圓的中心在原點,焦點在軸上,點是橢圓上的一點,在軸上的射影恰為橢圓的左焦點,與中心的連線平行于右頂點與上頂點的連線,且左焦點與左頂點的距離等于,試求橢圓的離心率及其方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左右頂點分別是,,點在橢圓上,過該橢圓上任意一點P作軸,垂足為Q,點C在的延長線上,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)求動點C的軌跡E的方程;
(3)設(shè)直線(C點不同A、B)與直線交于R,D為線段的中點,證明:直線與曲線E相切;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】關(guān)于函數(shù),有下列結(jié)論,其中正確的是( )
A.其圖象關(guān)于y軸對稱;
B.的最小值是;
C.當(dāng)時,是增函數(shù);當(dāng)時,是減函數(shù);
D.的增區(qū)間是,;
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