Question

（2012•佛山二模）已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一個交點為F1(-

3

，0)，而且過點H(

3

，

1

2

)．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓E的上下頂點分別為A₁，A₂，P是橢圓上異于A₁，A₂的任一點，直線PA₁，PA₂分別交x軸于點N，M，若直線OT與過點M，N的圓G相切，切點為T．證明：線段OT的長為定值，并求出該定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）解法一：根據(jù)橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一個交點為F1(-

3

，0)，過點H(

3

，

1

2

)，可得a²-b²=3，

3

a2

+

1

4b2

=1，聯(lián)立即可求得橢圓E的方程；
解法二：橢圓的兩個焦點分別為F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，利用橢圓的定義，可求橢圓E的方程；
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）可知A₁（0，1），A₂（0，-1），設(shè)P（x₀，y₀），求出xN=

-x0

y0-1

，同xM=

x0

y0+1

設(shè)圓G的圓心為(

1

2

(

x0

y0+1

-

x0

y0-1

)，h)，利用OT2=OG2-r2=

1

4

(

x0

y0+1

+

x0

y0-1

)2+h2-

1

4

(

x0

y0+1

-

x0

y0-1

)2-h2=

x02

1-y02

，即可得到線段OT的長度；
解法二：由（Ⅰ）可知A₁（0，1），A₂（0，-1），設(shè)P（x₀，y₀），求出xN=

-x0

y0-1

，xM=

x0

y0+1

，可得|OM|•|ON|=|

-x0

y0-1

•

x0

y0+1

|=|

x02

y02-1

|，由切割線定理可得線段OT的長度．

解答：（Ⅰ）解法一：由題意，∵橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一個交點為F1(-

3

，0)，
∴a²-b²=3，①
∵橢圓過點H(

3

，

1

2

)．
∴

3

a2

+

1

4b2

=1，②
①②解得a²=4，b²=1，
所以橢圓E的方程為

x2

4

+y2=1．…（4分）
解法二：橢圓的兩個焦點分別為F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，
由橢圓的定義可得2a=|PF1|+|PF2|=

7

2

+

1

2

=4，所以a=2，b²=1，
所以橢圓E的方程為

x2

4

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）可知A₁（0，1），A₂（0，-1），設(shè)P（x₀，y₀），
直線PA₁：y-1=

y0-1

x0

x，令y=0，得xN=

-x0

y0-1

；
直線PA₂：y+1=

y0+1

x0

x，令y=0，得xM=

x0

y0+1

； 
設(shè)圓G的圓心為(

1

2

(

x0

y0+1

-

x0

y0-1

)，h)，
則r²=[

1

2

(

x0

y0+1

-

x0

y0-1

)-

x0

y0+1

]2+h2=

1

4

(

x0

y0+1

+

x0

y0-1

)2+h2，
OG2=

1

4

(

x0

y0+1

-

x0

y0-1

)2+h2OT2=OG2-r2=

1

4

(

x0

y0+1

+

x0

y0-1

)2+h2-

1

4

(

x0

y0+1

-

x0

y0-1

)2-h2=

x02

1-y02

而

x02

4

+y02=1，所以

x

2 0

=4(1-

y

2 0

)，所以OT2=

4(1- y 2 0 )

1-y02

=4，
所以|OT|=2，即線段OT的長度為定值2．…（14分）
解法二：由（Ⅰ）可知A₁（0，1），A₂（0，-1），設(shè)P（x₀，y₀），
直線PA₁：y-1=

y0-1

x0

x，令y=0，得xN=

-x0

y0-1

；
直線PA₂：y+1=

y0+1

x0

x，令y=0，得xM=

x0

y0+1

；
則|OM|•|ON|=|

-x0

y0-1

•

x0

y0+1

|=|

x02

y02-1

|，而

x02

4

+y02=1，所以

x

2 0

=4(1-

y

2 0

)，
所以|OM|•|ON|=|

x02

y02-1

|=4，由切割線定理得OT²=|OM|•|ON|=4
所以|OT|=2，即線段OT的長度為定值2．…（14分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查圓與橢圓為綜合，考查線段長的求解，認真審題，挖掘隱含是關(guān)鍵．