Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=1﹣ ，其中n∈N* ．
（Ⅰ）設(shè)bn= ，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求出{an}的通項(xiàng)公式an；
（Ⅱ）設(shè)Cn= ，數(shù)列{CnCn+2}的前n項(xiàng)和為Tn ， 是否存在正整數(shù)m，使得Tn＜ 對(duì)于n∈N*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵bn+1﹣bn= = = =2，
∴數(shù)列{bn}是公差為2的等差數(shù)列，
又 =2，∴bn=2+（n﹣1）×2=2n．
∴2n= ，解得 ．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得 ，
∴cncn+2= = ，
∴數(shù)列{CnCn+2}的前n項(xiàng)和為Tn= … +
=2 ＜3．
要使得Tn＜ 對(duì)于n∈N*恒成立，只要 ，即 ，
解得m≥3或m≤﹣4，
而m＞0，故最小值為3
【解析】（Ⅰ）利用遞推公式即可得出bn+1﹣bn為一個(gè)常數(shù)，從而證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到bn ， 進(jìn)而得到an；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，利用“裂項(xiàng)求和”即可得到Tn ， 要使得Tn＜ 對(duì)于n∈N*恒成立，只要 ，即 ，解出即可．