【題目】已知橢圓 上的動點P與其頂點 ， 不重合． （Ⅰ）求證：直線PA與PB的斜率乘積為定值；
（Ⅱ）設(shè)點M，N在橢圓C上，O為坐標原點，當OM∥PA，ON∥PB時，求△OMN的面積．

【答案】解：（Ⅰ）證明：設(shè)P（x0 ， y0），則 ． 所以直線PA與PB的斜率乘積為 ．…（4分）
（Ⅱ）依題直線OM，ON的斜率乘積為- ．
① 當直線MN的斜率不存在時，直線OM，ON的斜率為 ，設(shè)直線OM的方程
是 ，由 得 ，y=±1．
取 ，則 ．所以△OMN的面積為 ．
②當直線MN的斜率存在時，設(shè)直線MN的方程是y=kx+m，
由 得（3k2+2）x2+6kmx+3m2﹣6=0．
因為M，N在橢圓C上，
所以△=36k2m2﹣4（3k2+2）（3m2﹣6）＞0，解得3k2﹣m2+2＞0．
設(shè)M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），則 ， ． = ．
設(shè)點O到直線MN的距離為d，則 ．
所以△OMN的面積為 …①．
因為OM∥PA，ON∥PB，直線OM，ON的斜率乘積為- ，所以 ．
所以 = ．
由 ，得3k2+2=2m2…②
由①②，得 ．
綜上所述，
【解析】（Ⅰ）設(shè)點設(shè)P（x0 ， y0），從而可得直線PA與PB的斜率乘積為 （Ⅱ）設(shè)方程為y=kx+m，由兩點M，N滿足OM∥PA，ON∥PB及（Ⅰ）得直線OM，ON的斜率乘積為﹣ ，可得到m、k的關(guān)系，再用弦長公式及距離公式，求出△OMN的底、高，表示：△OMN的面積即可．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=1﹣ ，其中n∈N* ．
（Ⅰ）設(shè)bn= ，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求出{an}的通項公式an；
（Ⅱ）設(shè)Cn= ，數(shù)列{CnCn+2}的前n項和為Tn ， 是否存在正整數(shù)m，使得Tn＜ 對于n∈N*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知M是直線l：x=﹣1上的動點，點F的坐標是（1，0），過M的直線l′與l垂直，并且l′與線段MF的垂直平分線相交于點N （Ⅰ）求點N的軌跡C的方程
（Ⅱ）設(shè)曲線C上的動點A關(guān)于x軸的對稱點為A′，點P的坐標為（2，0），直線AP與曲線C的另一個交點為B（B與A′不重合），直線P′H⊥A′B，垂足為H，是否存在一個定點Q，使得|QH|為定值？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2016年微信用戶數(shù)量統(tǒng)計顯示，微信注冊用戶數(shù)量已經(jīng)突破9.27億．微信用戶平均年齡只有26歲，97.7%的用戶在50歲以下，86.2%的用戶在18﹣36歲之間．為調(diào)查大學(xué)生這個微信用戶群體中每人擁有微信群的數(shù)量，現(xiàn)從北京市大學(xué)生中隨機抽取100位同學(xué)進行了抽樣調(diào)查，結(jié)果如下：

微信群數(shù)量

頻數(shù)

頻率

0至5個

0

0

6至10個

30

0.3

11至15個

30

0.3

16至20個

a

c

20個以上

5

b

合計

100

1

（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）若從這100位同學(xué)中隨機抽取2人，求這2人中恰有1人微信群個數(shù)超過15個的概率；
（Ⅲ）以這100個人的樣本數(shù)據(jù)估計北京市的總體數(shù)據(jù)且以頻率估計概率，若從全市大學(xué)生中隨機抽取3人，記X表示抽到的是微信群個數(shù)超過15個的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)D為不等式組 表示的平面區(qū)域，對于區(qū)域D內(nèi)除原點外的任一點A（x，y），則2x+y的最大值是 ， 的取值范圍是 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（ ）且當x∈[ ，1]時，f（x）=lnx，若當x∈[ ]時，函數(shù)g（x）=f（x）﹣ax與x軸有交點，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.[﹣ ，0]
B.[﹣πl(wèi)nπ，0]
C.[﹣ ， ]
D.[﹣ ，﹣ ]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知O為坐標原點，P（x，y）為函數(shù)y=1+lnx圖象上一點，記直線OP的斜率k=f（x）． （Ⅰ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，m+ ）（m＞0）上存在極值，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）當x≥1時，不等式f（x）≥ 恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}，{bn}滿足bn=an+1﹣an（n=1，2，3，…）．
（1）若bn=10﹣n，求a16﹣a5的值；
（2）若 且a1=1，則數(shù)列{a2n+1}中第幾項最��？請說明理由；
（3）若cn=an+2an+1（n=1，2，3，…），求證：“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的充分必要條件是“數(shù)列{cn}為等差數(shù)列且bn≤bn+1（n=1，2，3，…）”．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某工藝品廠要設(shè)計一個如圖Ⅰ所示的工藝品，現(xiàn)有某種型號的長方形材料如圖Ⅱ所示，其周長為4m，這種材料沿其對角線折疊后就出現(xiàn)圖Ⅰ的情況．如圖，ABCD（AB＞AD）為長方形的材料，沿AC折疊后AB'交DC于點P，設(shè)△ADP的面積為
S2 ， 折疊后重合部分△ACP的面積為S1 ．
（Ⅰ）設(shè)AB=xm，用x表示圖中DP的長度，并寫出x的取值范圍；
（Ⅱ）求面積S2最大時，應(yīng)怎樣設(shè)計材料的長和寬？
（Ⅲ）求面積（S1+2S2）最大時，應(yīng)怎樣設(shè)計材料的長和寬？

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