Question

【題目】已知△ABC三個頂點坐標分別為：A（1，0），B（1，4），C（3，2），直線l經(jīng)過點（0，4）．
（1）求△ABC外接圓⊙M的方程；
（2）若直線l與⊙M相交于P，Q兩點，且|PQ|=2 ，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：解法1：設⊙M的方程為：x2+y2+Dx+Ey+F=0，

則由題意得 ，解得 ，

∴⊙M的方程為x2+y2﹣2x﹣4y+1=0，或（x﹣1）2+（y﹣2）2=4

解法2：∵A（1，0），B（1，4）的橫坐標相同，故可設M（m，2），

由MA2=MC2得（m﹣1）2+4=（m﹣3）2，解得m=1

∴⊙M的方程為（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，或x2+y2﹣2x﹣4y+1=0

解法3：∵A（1，0），B（1，4），C（3，2），∴ ，

∴ ，則△ACB是等腰直角三角形，

因而△ACB圓心為（1，2），半徑為2，

∴⊙M的方程為（x﹣1）2+（y﹣2）2=4

（2）解：當直線l與x軸垂直時，l方程為x=0，它截⊙M得弦長恰為2

當直線l的斜率存在時，設l：y=kx+4

∵圓心到直線y=kx+4的距離d=

由勾股定理得 ，解得

故直線l的方程為x=0或3x+4y﹣16=0

【解析】（1）解法1：設⊙M的方程為一般式，根據(jù)條件列出方程組，求解后即可求出⊙M的方程；解法2：根據(jù)A（1，0），B（1，4）的橫坐標相同設M（m，2），由半徑相等和兩點之間的距離公式列出方程求出m，可得⊙M的方程；解法3：由向量的坐標運算求出 ，由向量的數(shù)量積運算求出 和模，判斷出△ACB是等腰直角三角形，由直角三角形外接圓的性質求出⊙M的方程；（2）對直線l的斜率存在問題分類討論，根據(jù)點到直線的距離公式和弦長公式列出方程，求出直線的斜率，即可得到直線方程．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用圓的一般方程的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握圓的一般方程的特點：(1)①x2和y2的系數(shù)相同，不等于0．②沒有xy這樣的二次項；(2)圓的一般方程中有三個特定的系數(shù)D、E、F，因之只要求出這三個系數(shù)，圓的方程就確定了；(3)、與圓的標準方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標準方程則指出了圓心坐標與半徑大小，幾何特征較明顯．