【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若存在正數(shù),對于任意的,不等式恒成立,求正實數(shù)的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)當(dāng)時, 在內(nèi)單調(diào)遞增,當(dāng)時, 在內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增.(Ⅱ).
【解析】試題分析:
(Ⅰ)求導(dǎo)數(shù)可得, ,根據(jù)的取值情況進(jìn)行討論可得函數(shù)的單調(diào)性.(Ⅱ)在(Ⅰ)中結(jié)論的基礎(chǔ)上分和兩種情況討論求解,首先探求得到區(qū)間,通過對函數(shù)在此區(qū)間上單調(diào)性的討論進(jìn)一步得到的符號,進(jìn)而將不等式去掉絕對值后進(jìn)行討論分析、排除,然后得到所求的范圍即可.
試題解析
(Ⅰ)由題意得, ,
因為,所以.
當(dāng)時, ,此時在內(nèi)單調(diào)遞增.
當(dāng)時,由得,此時 單調(diào)遞減;
由得,此時 單調(diào)遞增.
綜上,當(dāng)時, 在內(nèi)單調(diào)遞增;
當(dāng)時, 在內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增.
(Ⅱ)①當(dāng)時,
由(Ⅰ)可得在內(nèi)單調(diào)遞增,且,
所以對于任意的, .
這時可化為,即.
設(shè),
則,
令,得,
所以在單調(diào)遞減,且,
所以當(dāng)時, ,不符合題意.
②當(dāng)時,
由(Ⅰ)可得在內(nèi)單調(diào)遞減,且,
所以存在,使得對于任意的都有.
這時可化為,即.
設(shè),則.
(i)若,則在上恒成立,
這時在內(nèi)單調(diào)遞減,且,
所以對于任意的都有,不符合題意.
(ii)若,令,得,
這時在內(nèi)單調(diào)遞增,且,
所以對于任意的,都有,
此時取,則對于任意的,不等式恒成立.
綜上可得的取值范圍為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點在拋物線外,過點作拋物線的兩切線,設(shè)兩切點分別為,,記線段的中點為.
(Ⅰ)求切線,的方程;
(Ⅱ)證明:線段的中點在拋物線上;
(Ⅲ)設(shè)點為圓上的點,當(dāng)取最大值時,求點的縱坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義區(qū)間(a,b),[a,b),(a,b],[a,b]的長度均為,多個區(qū)間并集的長度為各區(qū)間長度之和,例如,(1,2) [3,5)的長度d=(2-1)+(5-3)=3. 用[x]表示不超過x的最大整數(shù),記{x}=x-[x],其中.設(shè), ,當(dāng)時,不等式解集區(qū)間的長度為,則的值為_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某教育培訓(xùn)中心共有25名教師,他們?nèi)吭谛M庾∷?為完全起見,學(xué)校派專車接送教師們上下班.這個接送任務(wù)承包給了司機(jī)王師傅,正常情況下王師傅用34座的大客車接送教師.由于每次乘車人數(shù)不盡相同,為了解教師們的乘車情況,王師傅連續(xù)記錄了100次的乘車人數(shù),統(tǒng)計結(jié)果如下:
乘車人數(shù) | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
頻數(shù) | 2 | 4 | 4 | 10 | 16 | 20 | 16 | 12 | 8 | 6 | 2 |
以這100次記錄的各乘車人數(shù)的頻率作為各乘車人數(shù)的概率.
(Ⅰ)若隨機(jī)抽查兩次教師們的乘車情況,求這兩次中至少有一次乘車人數(shù)超過18的概率;
(Ⅱ)有一次,王師傅的大客車出現(xiàn)了故障,于是王師傅準(zhǔn)備租一輛小客車來臨時送一次需要乘車的教師.可供選擇的小客車只有20座的型車和22座的型車兩種, 型車一次租金為80元, 型車一次租金為90元.若本次乘車教師的人數(shù)超過了所租小客車的座位數(shù),王師傅還要付給多出的人每人20元錢供他們乘出租車.以王師傅本次付出的總費(fèi)用的期望值為依據(jù),判斷王師傅租哪種車較合算?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中, 為等邊三角形,且平面平面, , , .
(Ⅰ)證明: ;
(Ⅱ)若棱錐的體積為,求該四棱錐的側(cè)面積.
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ) .
【解析】【試題分析】(I) 取的中點為,連接,.利用等腰三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可證得,由此證得平面,故,故.(II) 可知是棱錐的高,利用體積公式求得,利用勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)求得的值,進(jìn)而求得面積.
【試題解析】
證明:(Ⅰ)取的中點為,連接,,
∵為等邊三角形,∴.
底面中,可得四邊形為矩形,∴,
∵,∴平面,
∵平面,∴.
又,所以.
(Ⅱ)由面面,,
∴平面,所以為棱錐的高,
由,知,
,
∴.
由(Ⅰ)知,,∴.
.
由,可知平面,∴,
因此.
在中,,
取的中點,連結(jié),則,,
∴ .
所以棱錐的側(cè)面積為.
【題型】解答題
【結(jié)束】
20
【題目】已知圓經(jīng)過橢圓: 的兩個焦點和兩個頂點,點, , 是橢圓上的兩點,它們在軸兩側(cè),且的平分線在軸上, .
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)證明:直線過定點.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且,若任意的,當(dāng)時,總有.
(1)判斷函數(shù)在[-1,1]上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;
(2)解不等式:;
(3)若對所有的恒成立,其中(是常數(shù)),求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 據(jù)觀測統(tǒng)計,某濕地公園某種珍稀鳥類的現(xiàn)有個數(shù)約只,并以平均每年的速度增加.
(1)求兩年后這種珍稀鳥類的大約個數(shù);
(2)寫出(珍稀鳥類的個數(shù))關(guān)于(經(jīng)過的年數(shù))的函數(shù)關(guān)系式;
(3)約經(jīng)過多少年以后,這種鳥類的個數(shù)達(dá)到現(xiàn)有個數(shù)的倍或以上?(結(jié)果為整數(shù))(參考數(shù)據(jù):,)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況,在一般情況下,大橋上的車流速度v(單位:千米/小時)是車流密度x(單位:輛/千米)的函數(shù),當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時,造成堵塞,此時車流速度為0;當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時,車流速度為60千米/小時,研究表明:當(dāng)20≤x≤200時,車流速度v是車流密度x的一次函數(shù).
(1)當(dāng)0≤x≤200時,求函數(shù)v(x)的表達(dá)式;
(2)當(dāng)車流密度x為多大時,車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù),單位:輛/小時)f(x)=xv(x)可以達(dá)到最大,并求出最大值.(精確到1輛/小時).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知雙曲線的左右焦點分別為,,是雙曲線右支上的一點,與軸交于點的內(nèi)切圓在邊上的切點為,若,則雙曲線的離心率是 ( )
A. 2 B. C. D. 3
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