【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求證:;
(2)討論函數(shù)在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并求出相對(duì)應(yīng)的a的取值范圍.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)時(shí),函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn);當(dāng)時(shí),函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn).
【解析】
(1)構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最小值,證明最小值大于.(2)先利用導(dǎo)數(shù)得到的最小值,然后分類(lèi)討論,根據(jù)零點(diǎn)存在定理,得到每種情況下的零點(diǎn)情況.
(1)當(dāng)時(shí),,
令,則.
令,得.
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.
所以是的極小值點(diǎn),也是最小值點(diǎn),
即
故當(dāng)時(shí),成立.
(2) ,由,得.
所以當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.
所以是函數(shù)的極小值點(diǎn),也是最小值點(diǎn),
即.
當(dāng),即時(shí),在上沒(méi)有零點(diǎn).
當(dāng),即時(shí),在上只有一個(gè)零點(diǎn).
當(dāng),即時(shí),因?yàn)?/span>,
所以在內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn);
由(1)得,令,得,
所以,于是在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn);
因此,當(dāng)時(shí),在上有兩個(gè)零點(diǎn).
綜上,時(shí),函數(shù)在上沒(méi)有零點(diǎn);
當(dāng)時(shí),函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)時(shí),函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),曲線在處的切線交軸于點(diǎn).
(1)求的值;
(2)若對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)數(shù),,當(dāng)時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中,動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)連線的斜率之積為,記點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn),曲線上是否存在點(diǎn)使得四邊形為平行四邊形?若存在,求直線的方程,若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列,數(shù)列是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列,且.
(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),,,試比較與的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為,,并且經(jīng)過(guò)點(diǎn).
(1)求雙曲線的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,為的導(dǎo)函數(shù).
(1)若,求的值;
(2)討論的單調(diào)性;
(3)若恰有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)令函數(shù),若時(shí),,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若函數(shù)在處取得極大值或極小值,則稱(chēng)為函數(shù)的極值點(diǎn).設(shè)函數(shù).
(1)若函數(shù)在上無(wú)極值點(diǎn),求的取值范圍;
(2)求證:對(duì)任意實(shí)數(shù),在函數(shù)的圖象上總存在兩條切線相互平行;
(3)當(dāng)時(shí),若函數(shù)的圖象上存在的兩條平行切線之間的距離為4,問(wèn);這樣的平行切線共有幾組?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了適應(yīng)新高考改革,某校組織了一次新高考質(zhì)量測(cè)評(píng)(總分100分),在成績(jī)統(tǒng)計(jì)分析中,抽取12名學(xué)生的成績(jī)以莖葉圖形式表示如圖,學(xué)校規(guī)定測(cè)試成績(jī)低于87分的為“未達(dá)標(biāo)”,分?jǐn)?shù)不低于87分的為“達(dá)標(biāo)”.
(1)求這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和平均數(shù);
(2)在這12名學(xué)生中從測(cè)試成績(jī)介于80~90之間的學(xué)生中任選2人,求至少有1人“達(dá)標(biāo)”的概率.
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