Question

【題目】已知函數(shù)，曲線在處的切線交軸于點(diǎn)．

（1）求的值；

（2）若對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)數(shù)，，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（1），求出f（1），可得切線方程，代入（0，）即可求得m值；

（2）把（1）中求得的m值代入函數(shù)解析式，設(shè)x1＞x2，把對(duì)于（1，+∞）內(nèi)的任意兩個(gè)數(shù)x1，x2，a（x1+x2）轉(zhuǎn)化為，設(shè)g（x）＝f（x）﹣ax2，則g（x）＝x2lnxx3+x﹣ax2 在（1，+∞）上為減函數(shù)，可得g′（x）＝2xlnx+x﹣x2+1﹣2ax≤0對(duì)x＞1恒成立，分離參數(shù)a，再由導(dǎo)數(shù)求最值得答案．

解：（1）由，得，

，，

∴曲線在處的切線方程為，

則，解得；

（2），

不妨設(shè)，對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)數(shù)，，，

即有，

設(shè)，則在上為減函數(shù)．

則對(duì)恒成立．

可得在上恒成立．

令，，

則在上單調(diào)遞減，

∴．

∴，即．

∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．