Question

已知函數(shù)，，其中為常數(shù)， ，函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)處的切線為，函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)處的切線為，且。
（Ⅰ）若對任意的，不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
（Ⅱ）對于函數(shù)和公共定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)。我們把 的值稱為兩函數(shù)在處的偏差。求證：函數(shù)和在其公共定義域的所有偏差都大于2.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）利用參數(shù)分離法將不等式問題轉(zhuǎn)化為，等價(jià)轉(zhuǎn)化為處理，于是問題的核心就是求函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解，但同時(shí)需要注意題中的隱含條件將的值確定下來；（Ⅱ）先確定函數(shù)與函數(shù)的解析式，然后引入函數(shù)，通過證明，進(jìn)而得到
，得到，于是就說明原結(jié)論成立.
試題解析：解（Ⅰ）函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，
又  
函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)為，
又 
由題意可知，
又，所以               3分
不等式可化為
即
令，則，

又時(shí)，，，
故，在上是減函數(shù)
即在上是減函數(shù)
因此，在對任意的，不等式成立，
只需
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是               8分
（Ⅱ）證明：和的公共定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824020818624527.png" style="vertical-align:middle;" />，由（Ⅰ）可知，

令，則，
在上是增函數(shù)
故，即            ①
令，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
有最大值，因此    ②
由①②得，即
又由①得
由②得


故函數(shù)和在其公共定義域的所有偏差都大于2              13分