【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當時,函數(shù)在上的最小值為,若不等式有解,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析;(2)
【解析】
(1)求出導函數(shù),然后根據(jù)的符號進行分類討論,并借助解不等式組的方法得到單調(diào)區(qū)間;(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論求出當時,函數(shù)在上的最小值,因此問題轉(zhuǎn)化為有解,即有解,構(gòu)造函數(shù),求出函數(shù)的最小值即可得到所求.
(1)由,
得,
①當時,
令,得,
所以,或,即或,
解得或.
令,得,
所以或,即或,
解得或.
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,;單調(diào)遞減區(qū)間為.
②當時,
令,得,由①可知;
令,得,由①可知或.
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;單調(diào)遞減區(qū)間為,.
綜上可得,
當時,的單調(diào)遞增區(qū)間為,;單調(diào)遞減區(qū)間為.
當時,的單調(diào)遞增區(qū)間為;單調(diào)遞減區(qū)間為,.
(2)由(1)可知若,則當時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
所以,
所以不等式有解等價于有解,
即有解,
設,則,
所以當時,,單調(diào)遞減,
當時,,單調(diào)遞增,
所以的極小值也是最小值,且最小值為,
從而,
所以實數(shù)的取值范圍為.
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【題目】記表示,中的最大值,如.已知函數(shù),.
(1)設,求函數(shù)在上零點的個數(shù);
(2)試探討是否存在實數(shù),使得對恒成立?若存在,求的取值范圍;若不存在,說明理由.
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【題目】經(jīng)觀測,某公路段在某時段內(nèi)的車流量(千輛/小時)與汽車的平均速度(千米/小時)之間有函數(shù)關系:.
(1)在該時段內(nèi),當汽車的平均速度為多少時車流量最大?最大車流量為多少?(精確到0.01)
(2)為保證在該時段內(nèi)車流量至少為10千輛/小時,則汽車的平均速度應控制在什么范圍內(nèi)?
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中,已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))。曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求曲線,的極坐標方程;
(2)在極坐標系中,射線與曲線交于點,射線與曲線交于點,求的面積(其中為坐標原點).
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【題目】定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖象如圖所示,記為,,為頂點的三角形的面積為,則函數(shù)的導數(shù)的圖象大致是( )
A. B. C. D.
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【題目】在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以該直角坐標系的原點為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(Ⅰ)分別求曲線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程;
(Ⅱ)設直線交曲線于,兩點,交曲線于,兩點,求的長.
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【題目】下列命題中,真命題的序號是__________.
①“若,則”的否命題;
②“,函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增”的否定;
③“”是“”的必要條件;
④函數(shù)與函數(shù)的圖象關于直線對稱.
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