【題目】已知點是長軸長為的橢圓: 上異于頂點的一個動點, 為坐標(biāo)原點, 為橢圓的右頂點,點為線段的中點,且直線與的斜率之積恒為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過左焦點且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于兩點,線段的垂直平分線與軸交于點,點橫坐標(biāo)的取值范圍是,求的最小值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ) .
【解析】試題分析:(1)利用斜率公式化簡條件:直線與的斜率之積恒為 ,變形成橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式,即得結(jié)果,(2)將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,結(jié)合韋達(dá)定理以及弦長公式可得關(guān)于直線斜率的函數(shù)關(guān)系式,再根據(jù)中點坐標(biāo)公式列出線段的垂直平分線,并求與軸交點橫坐標(biāo),根據(jù)點橫坐標(biāo)的取值范圍,確定直線斜率取值范圍,最后根據(jù)直線斜率取值范圍確定的最小值.
試題解析:(Ⅰ)∵橢圓的長軸長為,∴.
設(shè),
∵直線與的斜率之積恒為,∴,
∴,∴,
故橢圓的方程為.
(Ⅱ) 設(shè)直線方程為,代入有,
設(shè), 中點,
∴.
∴
∴的垂直平分線方程為,
令,得
∵,∴,∴.
,
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高三數(shù)學(xué)競賽初賽考試后,對部分考生的成績進行統(tǒng)計(考生成績均不低于90分,滿分150分),將成績按如下方式分成六組,若第四、五、六組的人數(shù)依次成等差數(shù)列,且第六組有4人.
(1)請補充完整頻率分布直方圖,并估計這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)M;
(2)現(xiàn)根據(jù)初賽成績從第四組和第六組中任意選2人,記他們的成績分別為.若,則稱此二人為“黃金幫扶組”.試求選出的二人為“黃金幫扶組”的概率;
(3)以此樣本的頻率當(dāng)做概率,現(xiàn)隨機在這所有考生中選出3名學(xué)生,求成績不低于120分的人數(shù)的分布列及期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān),對本班50人進行了問卷調(diào)查得到了如下列表:
喜愛打籃球 | 不喜愛打籃球 | 合計 | |
男生 | 5 | ||
女生 | 10 | ||
合計 | 50 |
已知在全班50人中隨機抽取1人,抽到喜愛打籃球的學(xué)生的概率為.
(1)請將上表補充完整(不用寫計算過程);
(2)能否有99.5%的把握認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān)?說明你的理由.
下面的臨界值表供參考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式: ,其中)
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【題目】已知函數(shù).
(1)若,求曲線在點處的切線;
(2)若函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求正實數(shù)的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù),若在上至少存在一點,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙二人做射擊游戲,甲、乙射擊擊中與否是相互獨立事件.規(guī)則如下:若射擊一次擊中,則原射擊人繼續(xù)射擊;若射擊一次不中,就由對方接替射擊.已知甲、乙二人射擊一次擊中的概率均為,且第一次由甲開始射擊.①求前3次射擊中甲恰好擊中2次的概率____________;②求第4次由甲射擊的概率________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x-a|.
(1)若不等式f(x)≤3的解集為{x|-1≤x≤5},求實數(shù)a的值;
(2)在(1)的條件下,若f(x)+f(x+5)≥m對一切實數(shù)x恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某品牌手機銷售商今年1,2,3月份的銷售量分別是1萬部,1.2萬部,1.3萬部,為估計以后每個月的銷售量,以這三個月的銷售為依據(jù),用一個函數(shù)模擬該品牌手機的銷售量y(單位:萬部)與月份x之間的關(guān)系,現(xiàn)從二次函數(shù) 或函數(shù) 中選用一個效果好的函數(shù)行模擬,如果4月份的銷售量為1.37萬件,則5月份的銷售量為__________萬件.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若在區(qū)間上是增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
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