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【題目】已知函數.

（1）若，求曲線在點處的切線；

（2）若函數在其定義域內為增函數，求正實數的取值范圍；

（3）設函數，若在上至少存在一點，使得成立，求實數的取值范圍.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1） 當時， ，求導，由求出切線斜率及點，即可求出切線方程；（2）由在定義域區(qū)間上恒成立得，利用基本不等式求出函數的最大值，即可求出的取值范圍；（3）構造函數，由在區(qū)間上，函數至少存在一點使，即由在區(qū)間上，求出的范圍即可.

試題解析：已知函數.

（1）， ，

， ， 故切線方程為： .

（2），由在定義域內為增函數，所以在上恒成立，∴即，對恒成立，設， ，

易知， 在上單調遞增，在上單調遞減，則，

∴，即.

（3）設函數， ，

則原問題在上至少存在一點，使得

，

當時， ，則在上單調遞增， ，舍；

當時， ，

∵，∴， ， ，則，舍； 當時， ，

則在上單調遞增， ，整理得，

綜上， .

練習冊系列答案
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（1）求橢圓的方程；

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