Question

【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到直線的距離的比值為常數(shù)，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.

(1)求曲線的方程；

(2)若直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn)， ，直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn) ，且，求以， ， ， 為頂點(diǎn)的凸四邊形的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）曲線的方程為；（2）四邊形的面積的最大值為4.

【解析】試題分析：（1）設(shè)，根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為集合，得，化簡(jiǎn)求解即可；

（2）聯(lián)立消去，得，利用兩點(diǎn)距離公式及韋達(dá)定理求得，同理可得，由得，設(shè)兩平行線間的距離為， 代入求解即可.

試題解析：

（1）設(shè)，動(dòng)點(diǎn)到直線： 的距離為，

根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為集合

由此，得

化簡(jiǎn)，得

∴曲線的方程為.

（2）設(shè)

聯(lián)立消去，得.

∴，

∴，

同理可得

∵，

∴

又，∴

由題意，以為頂點(diǎn)的凸四邊形為平行四邊形

設(shè)兩平行線間的距離為，則

∵，∴

則

∵（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)滿足），

∴四邊形的面積的最大值為4.