【題目】已知正方形,分別是的中點(diǎn),將沿折起,如圖所示,記二面角的大小為

(1)證明:

(2)若為正三角形,試判斷點(diǎn)在平面內(nèi)的身影是否在直線上,證明你的結(jié)論,并求角的正弦值.

【答案】(1)見證明;(2)

【解析】

1沿折起,其它邊不變,可知,則有四邊形為平行四邊形,那么,又由于,故;(2)解法一:過點(diǎn)A,垂足為G,連接,由于,則有,故點(diǎn)ACD的中垂線EF上,過點(diǎn),垂足為,連接,由已知得,故,則即是,設(shè)原正方形的邊長為,根據(jù)已知邊和角的關(guān)系可以求得;方法三:點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在直線上證法同法一,建立空間直角坐標(biāo)系,先求平面CED的法向量,再求平面ADE的法向量,可得二面角的余弦值,進(jìn)而得到

解:(1)證明:分別是正方形的邊的中點(diǎn),

,則四邊形為平行四邊形,

.

,而,

(2)解法一:過點(diǎn),垂足為,連接.

為正三角形,,∴,

垂直平分線上,又∵的垂直平分線,

∴點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在直線

過點(diǎn),垂足為,連接,則,∴是二面角的平面角,即.

設(shè)原正方形的邊長為,連接,在折后圖的中,

為直角三角形,,∴.

中,,∴,則,即.

解法二:點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在直線上,連接,在平面內(nèi)過點(diǎn),垂足為

為正三角形,的中點(diǎn),

.

又∵,∴.

,∴

又∵

在平面內(nèi)的射影,

∴點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在直線

過點(diǎn),垂足為,連接,則,∴是二面角的平面角,即.

設(shè)原正方形的邊長為,連接,在折后圖的中,,

為直角三角形,,∴.

中,,∴,則,即.

解法三:(同解法一)

點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在直線上,

如圖,連接,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),軸,軸,過點(diǎn)作平行于的向量為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)正方形的邊長為,連接,.所以,,,.

又平面的一個(gè)法向量為,設(shè)平面的一個(gè)法向量為.

,即,所以

所以,即.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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根據(jù)往年錄取數(shù)據(jù)劃出預(yù)錄分?jǐn)?shù)線,分?jǐn)?shù)區(qū)間與可能被錄取院校層次如表.

(1)求的值及頻率分布直方圖中的值;

(2)根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想,以事件發(fā)生的頻率作為概率,若在該校高三年級(jí)學(xué)生中任取人,求此人都不能錄取為專科的概率;

(3)在選取的樣本中,從可能錄取為自招和?苾蓚(gè)層次的學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研,用表示所抽取的名學(xué)生中為自招的人數(shù),求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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A. B.

C. D.

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(1)求曲線與直線的直角坐標(biāo)方程.

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1)若,兩人能在兩球后結(jié)束比賽的概率與有關(guān)

2)若,兩人能在兩球后結(jié)束比賽的概率與有關(guān)

3)第二球分出勝負(fù)的概率與在第二球沒有分出勝負(fù)的情況下進(jìn)而第四球分出勝負(fù)的概率相同

4)第二球分出勝負(fù)的概率與在第球沒有分出勝負(fù)的情況下進(jìn)而第球分出勝負(fù)的概率相同

A.B.C.D.

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