Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的極值；

（2）若， 是方程（）的兩個不同的實數(shù)根，求證： .

Answer 1

【答案】（1）有極小值，無極大值.（2）見解析

【解析】試題分析：

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，再求出的零點(diǎn)，確定零點(diǎn)兩側(cè)的正負(fù)，得極值；

（2）關(guān)鍵是參數(shù)的轉(zhuǎn)換，由是某方程的解，代入得，兩式相減可解得，這樣要證的不等式即為證，這樣可用換元法，設(shè)，且不妨役，于是有，只要證，此時又可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值，求出的導(dǎo)數(shù)， ，為確定的正負(fù)及零點(diǎn)，可對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)確定它的單調(diào)性，最終確定的單調(diào)性，從而得出結(jié)論．

試題解析：

（1）依題意，

故當(dāng)時， ，當(dāng)時，

故當(dāng)時，函數(shù)有極小值，無極大值.

（2）因為， 是方程的兩個不同的實數(shù)根.

∴兩式相減得，解得

要證： ，即證： ，即證： ，

即證，

不妨設(shè)，令.只需證.

設(shè)，∴；

令，∴，∴在上單調(diào)遞減，

∴ ，∴，∴在為減函數(shù)，∴.

即在恒成立，∴原不等式成立，即.