Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= x2﹣2ax+lnx（a∈R），x∈（1，+∞）．
（1）若函數(shù)f（x）有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）對(duì)于函數(shù)f（x）、f1（x）、f2（x），若對(duì)于區(qū)間D上的任意一個(gè)x，都有f1（x）＜f（x）＜f2（x），則稱函數(shù)f（x）是函數(shù)f1（x）、f2（x）在區(qū)間D上的一個(gè)“分界函數(shù)”．已知f1（x）=（1﹣a2）lnx，f2（x）=（1﹣a）x2 ， 問是否存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）是函數(shù)f1（x）、f2（x）在區(qū)間（1，+∞）上的一個(gè)“分界函數(shù)”？若存在，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ，x∈（1，+∞），

令g（x）=x2﹣2ax+1，由題意得：g（x）在[1，+∞）有且只有1個(gè)零點(diǎn)，

∴g（1）＜0，解得：a＞1

（2）解：若f（x）是函數(shù)f1（x）、f2（x）在區(qū)間（1，+∞）上的一個(gè)“分界函數(shù)”，

則x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）﹣（1﹣a）x2＜0恒成立且f（x）﹣（1﹣a2）lnx＞0恒成立，

令h（x）=f（x）﹣（1﹣a）x2=（a﹣ ）x2﹣2ax+lnx，

則h′（x）= ，

①2a﹣1≤0即a≤ 時(shí)，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，h（x）遞減，且h（1）=﹣ ﹣a，

∴h（1）≤0，解得：﹣ ≤a≤ ；

②2a﹣1＞0即a＞ 時(shí)，y=（a﹣ ）x2﹣2ax的圖象開口向上，

存在x0＞1，使得（a﹣ ） ﹣2ax0＞0，

從而h（x0）＞0，h（x）＜0在（1，+∞）不恒成立，

令m（x）=f（x）﹣（1﹣a2）lnx= x2﹣2ax+a2lnx，

則m′（x）= ≥0，m（x）在（1，+∞）遞增，

由f（x）﹣（1﹣a2）lnx＞0恒成立，得：m（1）≥0，解得：a≤ ，

綜上，a∈[﹣ ， ]時(shí)，f（x）是函數(shù)f1（x）、f2（x）在區(qū)間（1，+∞）上的一個(gè)“分界函數(shù)”．

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f（x）有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，得到x2﹣2ax+1＜0恒成立，求出a的范圍即可；（2）根據(jù)“分界函數(shù)”的定義，只需x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）﹣（1﹣a）x2＜0恒成立且f（x）﹣（1﹣a2）lnx＞0恒成立，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出a的范圍即可．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值即可以解答此題．