Question

【題目】如圖，在四棱錐中平面，且，

．

（1）求證：；

（2）在線段上，是否存在一點(diǎn)，使得二面角的大小為45°，如果存在，求與平面所成角的正弦值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）是線段的中點(diǎn)，

【解析】

試題分析：（1）證明線線垂直，一般利用線面垂直性質(zhì)定理，即從線面垂直出發(fā)給予證明，而線面垂直的證明，需要利用線面垂直判定定理：先根據(jù)平幾知識(shí)尋找線線垂直，如由等腰三角形性質(zhì)得，又由條件平面，得線線垂直：，這樣就轉(zhuǎn)化為線面垂直平面，即得（2）研究二面角大小，一般利用空間向量比較直接：先根據(jù)題意建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組求各面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求兩法向量夾角，最后根據(jù)二面角與法向量夾角關(guān)系列方程組，解出點(diǎn)坐標(biāo)，確定點(diǎn)位置，再利用線面角與向量夾角互余關(guān)系求與平面所成角的正弦值

試題解析：

（1）證明：

如圖，由已知得四邊形是直角梯形，

由已知，

可得是等腰直角三角形，即，

又平面，則，所以平面，所以．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）存在． 法一：（猜證法）

觀察圖形特點(diǎn)，點(diǎn)可能是線段的中點(diǎn)，

下面證明當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，二面角的大小為45°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

過(guò)點(diǎn)作于，則，則平面．

過(guò)點(diǎn)作于，連接，

則是二面角的平面角，

因?yàn)?/span>是線段的中點(diǎn)，則，在四邊形求得，則．

在三棱錐中，可得，設(shè)點(diǎn)到平面的距離是，，

則，解得

在中，可得，

設(shè)與平面所成的角為，則．

法二：（作圖法）

過(guò)點(diǎn)作于，則，則平面，

過(guò)點(diǎn)作于，連接，則是二面角的平面角．

若，則，又，易求得，

即是線段的中點(diǎn)．．．

（以下同解法一）

法三：（向量計(jì)算法）

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則．

設(shè)，則的坐標(biāo)為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則

，得，則可取．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

又是平面的一個(gè)法向量，

所以，

此時(shí)平面的一個(gè)法向量可取，

與平面所成的角為，則．．．．．．．．．．．．．．12分