【題目】已知是拋物線上任意一點(diǎn),,且點(diǎn)為線段的中點(diǎn).
(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(Ⅱ)若為點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn),過的直線交曲線于、 兩點(diǎn),直線交直線于點(diǎn),求證:.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)見證明
【解析】
(Ⅰ)設(shè),,根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,代入曲線方程即可整理得到所求的軌跡方程;(Ⅱ)設(shè),設(shè),,將直線與曲線聯(lián)立可得;由拋物線定義可知,若要證得只需證明垂直準(zhǔn)線,即軸;由直線的方程可求得,可將點(diǎn)橫坐標(biāo)化簡為,從而證得軸,則可得結(jié)論.
(Ⅰ)設(shè),
為中點(diǎn)
為曲線上任意一點(diǎn) ,代入得:
點(diǎn)的軌跡的方程為:
(Ⅱ)依題意得,直線的斜率存在,其方程可設(shè)為:
設(shè),
聯(lián)立得:,則
直線的方程為,是直線與直線的交點(diǎn)
根據(jù)拋物線的定義等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離
在準(zhǔn)線上 要證明,只需證明垂直準(zhǔn)線
即證軸
的橫坐標(biāo):
軸成立 成立
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某“雙一流”大學(xué)專業(yè)獎學(xué)金是以所學(xué)專業(yè)各科考試成績作為評選依據(jù),分為專業(yè)一等獎學(xué)金(獎金額元)、專業(yè)二等獎學(xué)金(獎金額元)及專業(yè)三等獎學(xué)金(獎金額元),且專業(yè)獎學(xué)金每個學(xué)生一年最多只能獲得一次.圖(1)是統(tǒng)計(jì)了該校年名學(xué)生周課外平均學(xué)習(xí)時間頻率分布直方圖,圖(2)是這名學(xué)生在年周課外平均學(xué)習(xí)時間段獲得專業(yè)獎學(xué)金的頻率柱狀圖.
(Ⅰ)求這名學(xué)生中獲得專業(yè)三等獎學(xué)金的人數(shù);
(Ⅱ)若周課外平均學(xué)習(xí)時間超過小時稱為“努力型”學(xué)生,否則稱為“非努力型”學(xué)生,列聯(lián)表并判斷是否有的把握認(rèn)為該校學(xué)生獲得專業(yè)一、二等獎學(xué)金與是否是“努力型”學(xué)生有關(guān)?
(Ⅲ)若以頻率作為概率,從該校任選一名學(xué)生,記該學(xué)生年獲得的專業(yè)獎學(xué)金額為隨機(jī)變量,求隨機(jī)變量的分布列和期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線關(guān)于軸對稱,它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)、、均在拋物線上.
(1)寫出該拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程;
(2)當(dāng)與的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時,求的值及直線的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線:()上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5.
(1)求拋物線的方程;
(2)設(shè)直線與拋物線交于不同兩點(diǎn),若滿足,證明直線恒過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在所著的《詳解九章算法》一書中用如圖所示的三角形解釋二項(xiàng)展開式的系數(shù)規(guī)律,現(xiàn)把楊輝三角中的數(shù)從上到下,從左到右依次排列,得數(shù)列:1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,…,記作數(shù)列,若數(shù)列的前項(xiàng)和為,則_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,,分別為橢圓的左,右焦點(diǎn),橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于右焦點(diǎn)的橫坐標(biāo),其縱坐標(biāo)等于短半軸長的,則橢圓的離心率為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,,,平面底面,為的中點(diǎn),是棱上的點(diǎn),,,.
(1)求證:平面平面;
(2)若,求二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,且曲線與在處有相同的切線.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)求證:在上恒成立;
(Ⅲ)當(dāng)時,求方程在區(qū)間內(nèi)實(shí)根的個數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,射線的普通方程為,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)寫出與的極坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)與的交點(diǎn)為P(點(diǎn)P不為極點(diǎn)),與的交點(diǎn)為Q,當(dāng)在上變化時,求的最大值.
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