Question

【題目】如圖，在三棱柱中，，.

（1）證明：；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：（1）易知△ 與△均為等邊三角形，點為的中點，可得，，進而得平面，從而得證；

（2）由勾股定理可得，從而以點為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，分別求平面的一個法向量和平面的一個法向量，利用法向量求解二面角即可..

試題解析：

（1）證明：設點為的中點，連接，，由，，知△與△均為等邊三角形，點為的中點，可得，，，相交于點，所以平面，又平面，所以．

（2）由（1）知△與△均是邊長為是等邊三角形，，又在△中，，由余弦定理得，所以，故，，以點為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系．

可得，，，，

，，，

設為平面的一個法向量，則

，得，同理可得平面的一個法向量為，

由，

所以，二面角的余弦值為．