Question

【題目】（本小題滿分13分）

已知函數，其中．

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）證明： 在區(qū)間上恰有個零點．

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）當時， ，求出的值可得切點坐標，求出的值可得切線斜率，由點斜式可得曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）求出導函數．由 ，得 ．根據零點存在定理可得存在唯一的， 使得 ， 在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減．可證明，從而可得結論.

試題解析：（Ⅰ）當時， ，

所以 ．

因為 ， ，

所以曲線在點處的切線方程為．

（Ⅱ）．

由 ，得 ．

因為 ，所以．

當 時， 由 ， 得 ．

所以 存在唯一的， 使得 ．

與在區(qū)間上的情況如下：

	↗	極大值	↘

所以 在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減．

因為 ，

且 ，

所以 在區(qū)間上恰有2個零點．

【方法點晴】本題主要考查利用導數求曲線切線方程以及利用導數研究函數的單調性與極值，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導數，即在點 出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在 處導數不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.