【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，短軸兩個(gè)端點(diǎn)為，且四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，為橢圓長(zhǎng)軸上一點(diǎn)，求的最大值與最小值；

（3）設(shè)是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足，點(diǎn)是線(xiàn)段與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上，并且滿(mǎn)足，，求點(diǎn)的軌跡方程．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)．（Ⅲ）

【解析】試題分析：（1）運(yùn)用正方形的性質(zhì)可得 ，求得，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）設(shè) 是橢圓上一點(diǎn)，則 ，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式和二次函數(shù)的最值求法，即可得到所求最值；

（3）通過(guò)連接 ，連接 利用橢圓定義可知 進(jìn)而為線(xiàn)段的中點(diǎn)，利用三角形中位線(xiàn)定理可知 ，進(jìn)而可得軌跡方程．

試題解析：（Ⅰ）由題意得

所以橢圓的方程為：．

（Ⅱ）設(shè)，因?yàn)?/span>是橢圓上一點(diǎn)，所以

．

因?yàn)?/span>

所以當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)．

（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn) 在軌跡上．

當(dāng)且時(shí)，由，得．

又，

所以，所以為線(xiàn)段的中點(diǎn)．

在中，，所以有

綜上所述，點(diǎn)的軌跡方程為

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與市場(chǎng)預(yù)測(cè)，知A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比，其關(guān)系如圖1，B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2.(注：所示圖中的橫坐標(biāo)表示投資金額，單位：萬(wàn)元)

圖1 圖2

（1）分別將A，B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；

（2）該企業(yè)已籌集10萬(wàn)元資金，并全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問(wèn)：怎樣分配這10萬(wàn)元資金，才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為多少萬(wàn)元？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某醫(yī)藥研究所開(kāi)發(fā)的一種藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測(cè)，服藥后每毫升中的含藥量（微克）與時(shí)間（小時(shí)）之間近似滿(mǎn)足如圖所示的曲線(xiàn).（當(dāng)時(shí)， ）.

（1）寫(xiě)出第一次服藥后與之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）據(jù)進(jìn)一步測(cè)定，每毫升血液中含藥量不少于微克時(shí)，治療疾病有效，求服藥一次后治療疾病有效時(shí)間.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】方程的根的個(gè)數(shù)是____________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，焦點(diǎn)在軸上，離心率為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線(xiàn)交橢圓于不同的兩點(diǎn)，過(guò)作的垂線(xiàn)交于點(diǎn)．求與的面積之比．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面四邊形中， ， ，將沿折起，使得平面平面，如圖．

（1）求證： ；

（2）若為中點(diǎn)，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足到點(diǎn)的距離比到直線(xiàn)的距離小1．

（1）求曲線(xiàn)的方程；

（2）動(dòng)點(diǎn)在直線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)分別作曲線(xiàn)的切線(xiàn)，切點(diǎn)為．直線(xiàn)是否恒過(guò)定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下面給出四種說(shuō)法：

①用相關(guān)指數(shù)R2來(lái)刻畫(huà)回歸效果，R2越小，說(shuō)明模型的擬合效果越好；

②命題P：“x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0”的否定是￢P：“x∈R，x2﹣x﹣1≤0”；

③設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（0，1），若P（x＞1）=p則P（﹣1＜X＜0）= ﹣p

④回歸直線(xiàn)一定過(guò)樣本點(diǎn)的中心（ ）．

其中正確的說(shuō)法有（ ）

A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】正方形ABCD和正方形ABEF的邊長(zhǎng)都是1，并且平面ABCD⊥平面ABEF，點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)．若|CM|＝|BN|＝a(0＜a＜ )．

(1)求MN的長(zhǎng)度；

(2)當(dāng)a為何值時(shí)，MN的長(zhǎng)度最短．

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