【題目】已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)),.
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的極小值;
(2)若當(dāng)時,關(guān)于的方程有且只有一個實數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)0;(2).
【解析】
(1)求出導(dǎo)函數(shù),由導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性,然后得極值;
(2)設(shè),求出導(dǎo)數(shù),對再求導(dǎo),以確定的單調(diào)性和正負(fù),是的最小值,分類討論,若,易知結(jié)論成立,當(dāng)時,說明存在,使得,然后得的單調(diào)性,確定有兩個零點(diǎn),不滿足題意.從而得出的范圍.
解:(1)當(dāng)時,,
令,則列表如下:
1 | |||
- | 0 | + | |
單調(diào)遞減 | 極小值 | 單調(diào)遞增 |
所以;
(2)設(shè)
,
設(shè),
由得,在單調(diào)遞增,
即在單調(diào)遞增,,
①當(dāng),即時,時,,在單調(diào)遞增,
又,故當(dāng)時,關(guān)于的方程有且只有一個實數(shù)解.
②當(dāng),即時,由(1)可知,
所以,又,
故,當(dāng)時,單調(diào)遞減,又,
故當(dāng)時,,
在內(nèi),關(guān)于的方程有一個實數(shù)解1,
又時,單調(diào)遞增,
且,令,
,故在單調(diào)遞增,又
,
∴當(dāng)時,,∴在單調(diào)遞增,故,故,
又,由零點(diǎn)存在定理可知,,
故在內(nèi),關(guān)于的方程有一個實數(shù)解,
又在內(nèi),關(guān)于的方程有一個實數(shù)解1,
綜上,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知動點(diǎn)到定點(diǎn)和到直線的距離之比為,設(shè)動點(diǎn)的軌跡為曲線,過點(diǎn)作垂直于軸的直線與曲線相交于兩點(diǎn),直線與曲線交于兩點(diǎn),與相交于一點(diǎn)(交點(diǎn)位于線段上,且與不重合).
(1)求曲線的方程;
(2)當(dāng)直線與圓相切時,四邊形的面積是否有最大值?若有,求出其最大值及對應(yīng)的直線的方程;若沒有,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,令
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若關(guān)于的不等式恒成立,求整數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某大型歌手選秀活動,過程分為初賽、復(fù)賽和決賽.經(jīng)初賽進(jìn)入復(fù)賽的40名選手被平均分成甲、乙兩個班,由組委會聘請兩位導(dǎo)師各負(fù)責(zé)一個班進(jìn)行聲樂培訓(xùn).下圖是根據(jù)這40名選手參加復(fù)賽時獲得的100名大眾評審的支持票數(shù)制成的莖葉圖.賽制規(guī)定:參加復(fù)賽的40名選手中,獲得的支持票數(shù)不低于85票的可進(jìn)入決賽,其中票數(shù)不低于95票的選手在決賽時擁有“優(yōu)先挑戰(zhàn)權(quán)”.
(1)從進(jìn)入決賽的選手中隨機(jī)抽出2名,X表示其中擁有“優(yōu)先挑戰(zhàn)權(quán)”的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(2)請?zhí)顚懴旅娴?/span>列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為進(jìn)入決賽與選擇的導(dǎo)師有關(guān)?
甲班 | 乙班 | 合計 | |
進(jìn)入決賽 | |||
未進(jìn)入決賽 | |||
合計 |
下面的臨界值表僅供參考:
P() | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式:,其中)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程是.
(1)寫出曲線的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;
(2)求上的點(diǎn)到距離的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題;命題函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn).
(1)當(dāng)時,若為真命題,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若命題是命題的充分不必要條件,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).(其中常數(shù),是自然對數(shù)的底數(shù))
(1)若,求函數(shù)的極值點(diǎn)個數(shù);
(2)若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào),證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)時,令,其導(dǎo)函數(shù)為,設(shè)是函數(shù)的兩個零點(diǎn),判斷是否為的零點(diǎn)?并說明理由.
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