【題目】在非負數(shù)構(gòu)成的數(shù)表中,每行的數(shù)互不相同,前六列中每列的三數(shù)之和為1,均大于1.如果的前三列構(gòu)成的數(shù)表滿足下面的性質(zhì):對于數(shù)表中的任意一列()均存在某個使得.①
求證:(1)最小值()一定去自數(shù)表的不同列;
(2)存在數(shù)表中唯一的一列()使得數(shù)表仍然具有性質(zhì)().
【答案】見解析
【解析】
(1)假設最小值()不是取自數(shù)表的不同列.則存在一列不含任何不妨設().由于數(shù)表中同一行中的任何兩個元素都不等,于是,().使得.矛盾.
(2)由抽屜原理知中至少有兩個值取在同一列.不妨設.由(1)知數(shù)表的第一列一定含有某個,則只能是.
同理,第二列中也必含某個().不妨設.
于是,,即是數(shù)表中的對角線上數(shù)字:.
記.令集合.顯然,且.因為,所以,.故.于是,存在.使得.顯然,.下面證明:數(shù)表具有性質(zhì)().
從上面的選法可知().這說明.
又由滿足性質(zhì)(),在式①中取,推得.于是,.接下來證明:對任意的,存在某個()使得.
假若不然,則()且.這與的最大性矛盾.因此,數(shù)表滿足性質(zhì)().
再證唯一性.設有使得數(shù)表具有性質(zhì)().
不失一般性,可假定②
.由于及(1),有.又由(1)知,或者,③或者④如果式③成立,則⑤由數(shù)表滿足性質(zhì)(),則對于至少存在一個,使得.
又由式②、⑤知.所以,只能有.同理,由數(shù)表滿足性質(zhì)()得.于是,,即數(shù)表.如果式④成立,則⑥由數(shù)表滿足性質(zhì)(),則對于,存在某個()使得.由及式②、⑥知.于是,只能有.同理,由滿足性質(zhì)()及得.從而.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學文化的優(yōu)秀遺產(chǎn),數(shù)學家劉徽在注解《九章算術(shù)》時,發(fā)現(xiàn)當圓內(nèi)接正多邊行的邊數(shù)無限增加時,多邊形的面積可無限逼近圓的面積,為此他創(chuàng)立了割圓術(shù),利用割圓術(shù),劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點后四位3.1416,后人稱3.14為徽率,如圖是利用劉徽的割圓術(shù)設計的程序框圖,若結(jié)束程序時,則輸出的為( )(,,)
A. 6 B. 12 C. 24 D. 48
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若存在實常數(shù)和,使得函數(shù)和對其公共定義域上的任意實數(shù)都滿足:和恒成立,則稱此直線為和的“隔離直線”,已知函數(shù),,,下列命題為真命題的是( )
A.在內(nèi)單調(diào)遞減
B.和之間存在“隔離直線”,且的最小值為
C.和之間存在“隔離直線”,且的取值范圍是
D.和之間存在唯一的“隔離直線”
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】羅馬數(shù)字是歐洲在阿拉伯數(shù)字傳入之前使用的一種數(shù)碼,它的產(chǎn)生標志著一種古代文明的進步.羅馬數(shù)字的表示法如下:
數(shù)字 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
形式 | Ⅰ | Ⅱ | Ⅲ | Ⅳ | Ⅴ | Ⅵ | Ⅶ | Ⅷ | Ⅸ |
其中“Ⅰ”需要1根火柴,“Ⅴ”與“X”需要2根火柴,若為0,則用空位表示. (如123表示為,405表示為)如果把6根火柴以適當?shù)姆绞饺糠湃胂旅娴谋砀裰,那么可以表示的不同的三位?shù)的個數(shù)為( )
A.87B.95C.100D.103
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】關(guān)于下列命題:
①若是第一象限角,且,則;
②函數(shù)是偶函數(shù);
③函數(shù)的一個對稱中心是;
④函數(shù)在上是增函數(shù),
所有正確命題的序號是_____.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓E的一個頂點為,焦點在x軸上,若橢圓的右焦點到直線的距離是3.
求橢圓E的方程;
設過點A的直線l與該橢圓交于另一點B,當弦AB的長度最大時,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知點是拋物線的焦點,若點在拋物線上,且
求拋物線的方程;
動直線與拋物線相交于兩點,問:在軸上是否存在定點其中,使得向量與向量共線其中為坐標原點?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(I)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若,記函數(shù)是函數(shù)的兩個極值點,且的最小值.
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