Question

【題目】已知函數(shù)（,是自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）若是上的單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（2）當時，證明：函數(shù)有最小值，并求函數(shù)最小值的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】試題分析: （Ⅰ）先將單調(diào)性轉(zhuǎn)化為不等式恒成立：當時，函數(shù)恒成立，再變量分離轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值：的最小值，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，（Ⅱ）利用二次求導(dǎo)，確定導(dǎo)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，再利用零點存在定理確定導(dǎo)函數(shù)有且僅有一個零點，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律得函數(shù)在此零點（極小值點）取最小值.最后利用導(dǎo)函數(shù)零點表示函數(shù)最小值，并根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點取值范圍，利用導(dǎo)數(shù)方法確定最小值函數(shù)的值域.

試題解析: （Ⅰ），

依題意：當時，函數(shù)恒成立，即恒成立，

記，則，

所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，即；

（Ⅱ）因為，所以是上的增函數(shù)，

又， ，所以存在使得

且當時，當時，所以的取值范圍是．

又當，，當時，，

所以當時，．且有

∴．

記，則，

所以，即最小值的取值范圍是．