Question

對有n（n≥4）個元素的總體{1，2，3，…，n}進行抽樣，先將總體分成兩個子總體{1，2，3，…，m}和{m+1，m+2，…，n}（m是給定的正整數(shù)，且2≤m≤n-2），再從每個子總體中各隨機抽出2個元素組成樣本，用p_ij表示元素i和j同時出現(xiàn)在樣本中的概率．
（Ⅰ）若n=8，m=4，求P₁₈；
（Ⅱ）求p_1n；
（Ⅲ）求所有p_ij（1≤i＜j≤n）的和．

Answer 1

（Ⅰ）當n=8，m=4時，兩個子總體為{1，2，3，4}，{5，6，7，8}，
從每個子總體中各隨機抽出2個元素組成樣本，共有

C

24

C

24

=36種抽法，
元素1和8同時出現(xiàn)在樣本中的抽法，共有

C

13

C

13

=9種抽法，
∴P₁₈=

9

36

=

1

4

；
故P₁₈=

1

4

；
（Ⅱ）p_1n表示元素1和n同時出現(xiàn)在樣本中，
∴在{2，3，…，m}中再抽取一個，在{m+1，m+2，…，n-1}中也再抽取一個，
∴共有

C

1m-1

C

1n-m-1

種抽法，
又∵在兩個子總體{1，2，3，…，m}和{m+1，m+2，…，n}中各隨機抽出2個元素組成樣本，
∴共有

C

2m

C

2n-m

種抽法，
∴p_1n=

C 1m-1 C 1n-m-1

C 2m C 2n-m

=

4

m(n-m)

；
（Ⅲ）∵p_ij表示元素i和j同時出現(xiàn)在樣本中的概率，
又i，j所在的子集不同，故應(yīng)分三類：
①當1≤i＜j≤m時，p_ij=

C 22 C 2n-m

C 2m C 2n-m

=

1

C 2m

，這樣的（i，j）中共有

C

2m

組；
②當1≤i≤m＜j≤n時，p_ij=

C 1m-1 C 1n-m-1

C 2m C 2n-m

=

4

m(n-m)

，這樣的（i，j）中共有

C 1m C

1n-m

組；
③當m＜i＜j≤n時，p_ij=

C 2m C 22

C 2m C 2n-m

=

1

C 2n-m

，這樣的（i，j）中共有

C

2n-m

組．
綜上所述，所有的p_ij（1≤i＜j≤n）的和等于

1

C 2m

•

C

2m

+

4

m(n-m)

•

C 1m C

1n-m

+

1

C 2n-m

•

C

2n-m

=6，
故所有p_ij（1≤i＜j≤n）的和為6．