Question

已知映射f：P(m，n)→P′(

m

，

n

)（m≥0，n≥0）．設點A（1，3），B（3，1），點M是線段AB上一動點，f：M→M′，當點M在線段AB上從點A開始運動到點B時，點M的對應點M′所經(jīng)過的路線長度為（　�。�

• A、

  π

  6

• B、

  π

  4

• C、

  π

  3

• D、

  π

  2

Answer 1

分析：根據(jù)所給的兩個點的坐標寫出直線的方程，設出兩個點的坐標，根據(jù)所給的映射的對應法則得到兩個點坐標之間的關系，代入直線的方程求出一個圓的方程，得到軌跡是一個圓弧，求出弧長．

解答：解：由題意知AB的方程為：x+y=4，
設M′（x，y），則M（x²，y²），從而有x²+y²=4，
按照映射f：P(m，n)→P′(

m

，

n

)（m≥0，n≥0），可得 A（1，3）→A′（1，

3

），B（3，1）→B′（

3

，1），
∴tan∠A′OX=

3

，∴∠A′OX=

π

3

，
tan∠B′OX=

3

3

，∴∠B′OX=

π

6

，
∴∠A′OB′=∠A′OX-∠B′OX=

π

6

，
點M的對應點M′所經(jīng)過的路線長度為弧長

π

6

×2=

π

3

．
故選C．

點評：本題以定義的一種新的變換為入手點，主要考查直線與圓的有關知識，解答本題的關鍵是弄懂定義的本質．