【題目】已知函數(shù), . 

(Ⅰ)當時,求函數(shù)的極值;

(Ⅱ)當時,討論函數(shù)單調(diào)性;

(Ⅲ)是否存在實數(shù),對任意的, ,且,有恒成立?若存在,求出的取值范圍;若不存在,說明理由.

【答案】(Ⅰ); ; (Ⅱ)見解析;(Ⅲ) .

【解析】試題分析:(Ⅰ)當時, ,求函數(shù)的導數(shù),并且求 值,判斷兩側(cè)的單調(diào)性,求極值;(Ⅱ)當時, ,討論兩根 的大小關(guān)系,從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅲ)設,將不等式整理為 ,即說明函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù),即恒成立,求的取值范圍.

試題解析:(Ⅰ)當時,

,

時, , 單調(diào)遞增;

時, , 單調(diào)遞減,

所以時, ;

時,

(Ⅱ)當時,

①當,即時,由可得,此時單調(diào)遞增;由可得,此時單調(diào)遞減;

②當,即時, 上恒成立,此時單調(diào)遞增;

③當,即時,由可得,此時單調(diào)遞增;由可得,此時單調(diào)遞減.

綜上:當時, 增區(qū)間為 ,減區(qū)間為;

時, 增區(qū)間為,無減區(qū)間;

時, 增區(qū)間為, ,減區(qū)間為

(Ⅲ)假設存在實數(shù),對任意的, ,且,有恒成立,

不妨設,則由恒成立可得: 恒成立,

,則上單調(diào)遞增,所以恒成立,

恒成立,

,即恒成立,又,

時恒成立,

,

∴當時,對任意的, ,且,有恒成立.

練習冊系列答案
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