Question

【題目】已知函數(shù)， .

（Ⅰ）求證：當(dāng)時(shí)， ；

（Ⅱ）若函數(shù)在（1，+∞）上有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）(0，1)

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)，得，分析單調(diào)性得當(dāng)時(shí)， 即得證；（Ⅱ） 對t進(jìn)行討論①， 在[1，+∞)上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)， ，所以在(1，+∞)上沒有零點(diǎn)，②若， 在[1，+∞)上是減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)， ，所以在(1，+∞)上沒有零點(diǎn)，③若0<t<1時(shí)分析單調(diào)性借助于第一問，找到，則當(dāng)時(shí)，即成立；取，則當(dāng)時(shí)， ，即，說明存在，使得，即存在唯一零點(diǎn)；

試題解析：

（Ⅰ）由，得．

當(dāng)變化時(shí)， 與的變化情況如下表：

x	(0，4)	4	(4，+∞)
	+	0	-

所以當(dāng)時(shí)， ；

（Ⅱ）

①若，則當(dāng)時(shí)， ，所以在[1，+∞)上是增函數(shù)，

所以當(dāng)時(shí)， ，所以在(1，+∞)上沒有零點(diǎn)，所以不滿足條件．

②若，則當(dāng)時(shí)， ，所以在[1，+∞)上是減函數(shù)，

所以當(dāng)時(shí)， ，所以在(1，+∞)上沒有零點(diǎn)，所以不滿足條件．

③若0<t<1，則由，得

當(dāng)變化時(shí)， 與的變化情況如下表：

記，則當(dāng)時(shí)，即成立；

由（Ⅰ）知當(dāng)時(shí)， ，即成立，所以取，則當(dāng)時(shí)， 且，從而 ，即，這說明存在，使得，

結(jié)合上表可知此時(shí)函數(shù)在(1，+∞)上有唯一零點(diǎn)，所以0<t<1滿足條件．

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為(0，1)．