【題目】已知是定義在上的奇函數,且,當,且時,有成立.
(1)判斷在上的單調性,并給予證明;
(2)若對任意的以及任意恒成立,求實數的取值范圍.
【答案】(1)增函數,證明見解析;(2)或或
【解析】
(1)利用函數單調性的定義證明抽象函數的單調性;
(2)先根據(1)的單調性可求出,代入不等式,不等式就可等價為即對任意的,恒成立,接下去有兩種方法可求:一、把右邊看成是關于的二次函數進行討論求最小值;二、把右邊看成是關于的一次函數求最小值即可.
(1)證明:設,且,
則由是定義在上的奇函數得:
又因為當,且時,
有成立,
所以,
即得,所以在上為增函數.
(2)解法一:由(1)有在上,
所以有對任意的,恒成立,則:
(。╋@然滿足題意;
(ⅱ)當,,即,得;
(ⅲ)當,,即,得;
綜上有或或.
(2)解法二:由(1)有在上,
所以有對任意的恒成立,
則且,得或或.
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【題目】某市創(chuàng)業(yè)園區(qū)新引進一家生產環(huán)保產品的公司,已知該環(huán)保產品每售出1盒的利潤為0.3萬元,當月未售出的環(huán)保產品,每盒虧損0.12萬元.根據統計資料,該環(huán)保產品的市場月需求量的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)若該環(huán)保產品的月進貨量為160盒,以(單位:盒,)表示該產品一個月內的市場需求量,(單位:萬元)表示該公司生產該環(huán)保產品的月利潤.
①將表示為的函數;
②根據頻率分布直方圖估計利潤不少于39.6萬元的概率.
(2)在頻率分布直方圖的月需求量分組中,以各組的區(qū)間中點值代表該組的月需求量,當月進貨量為158箱時,寫出月利潤(單位:萬元)的所有可能值.
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【題目】如圖是2018年第一季度五省GDP情況圖,則下列描述中不正確的是( )
A. 與去年同期相比2018年第一季度五個省的GDP總量均實現了增長
B. 2018年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省
C. 2018年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個
D. 去年同期河南省的GDP總量不超過4000億元
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【題目】(12分)已知函數f(x)=
(1)判斷函數在區(qū)間[1,+∞)上的單調性,并用定義證明你的結論.
(2)求該函數在區(qū)間[1,4]上的最大值與最小值.
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【題目】已知拋物線的焦點為.
(1)若拋物線的焦點到準線的距離為4,直線,求直線截拋物線所得的弦長;
(2)過點的直線交拋物線于兩點,過點作拋物線的切線,兩切線相交于點,若分別表示直線與直線的斜率,且,求的值.
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【題目】某公司為了了解2018年當地居民網購消費情況,隨機抽取了100人,對其2018年全年網購消費金額(單位:千元)進行了統計,所統計的金額均在區(qū)間內,并按,,…,6組,制成如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求圖中的值;
(2)若將全年網購消費金額在20千元及以上者稱為網購迷.結合圖表數據,補全列聯表,并判斷是否有的把握認為樣本數據中的網購迷與性別有關系?說明理由;
男 | 女 | 合計 | |
網購迷 | 20 | ||
非網購迷 | 45 | ||
合計 |
下面的臨界值表僅供參考:
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
附: .
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