【題目】給定一個(gè)四面體，若存在一個(gè)側(cè)面(其所在平面為)，使得在將其余三個(gè)側(cè)面分別繞其位于平面上的邊向體外方向旋轉(zhuǎn)至平面上時(shí)，四個(gè)側(cè)面在平面上共同組成的圖形恰好是一個(gè)三角形，則稱該四面體是一個(gè)“平展四面體”．若有一個(gè)平展四面體，它的一個(gè)側(cè)面的三邊長(zhǎng)為a、b、c，試確定a、b、c的關(guān)系，并求該四面體的體積(用a、b、c表示)．

【答案】

【解析】

如圖，若四面體PDEF為平展四面體，且沿所在平面展平后的三角形為，則DE、EF、FD為的中位線．被其三條中位線所劃分成的四個(gè)全等三角形構(gòu)成四面體的四個(gè)側(cè)面，從而，四面體中共頂點(diǎn)的三個(gè)面角恰等于的三個(gè)內(nèi)角．故為銳角三角形，且三邊長(zhǎng)為2a、2b、2c．

不妨設(shè),.

則由為銳角三角形知.

下面計(jì)算四面體PDEF的體積V.

設(shè)的外接圓半徑為R，.

則.

設(shè)二面角P—DE—F的平面角為．則.

故

注意到,

且，則

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】《易經(jīng)》是中國(guó)傳統(tǒng)文化中的精髓，如圖是易經(jīng)八卦（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（""表示一根陽(yáng)線，""表示一根陰線），從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有兩根陽(yáng)線，四根陰線的概率為_______.

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【題目】設(shè)為任意給定的質(zhì)數(shù).證明：一定存在質(zhì)數(shù)，使得對(duì)任意的整數(shù)，數(shù)都不能被整除.

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（1）求橢圓的方程；

（2）已知過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過(guò)且與垂直的直線與圓交于兩點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍.

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【題目】下列敘述正確的是（ ）

A.相關(guān)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，一般可分為正相關(guān)和負(fù)相關(guān)

B.回歸直線一定過(guò)樣本點(diǎn)的中心

C.在回歸分析中，為的模型比為的模型擬合的效果好

D.某同學(xué)研究賣出的熱飲杯數(shù)與氣溫（℃）時(shí)，一定可賣出杯熱飲

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【題目】對(duì)于集合，若存在兩個(gè)數(shù)列滿足(i) ；(ii) ，則稱M為一個(gè)“友誼集”，稱(A，B)為的一種“友誼排列”，如A=(3，10，7，9，6)和B=(2，8，4，5，1)便是集合的一種友誼排列，記為

(1)證明：若為一個(gè)友誼集，則存在偶數(shù)種友誼排列；

(2)確定集合及的全體友誼排列．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓C：＋y2＝1（a＞1）的上頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，直線AF與圓M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若不過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，且＝0，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)N的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知是內(nèi)角的角平分線.

（1）用正弦定理證明： ；

（2）若，求的長(zhǎng).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】“中國(guó)人均讀書(shū)4.3本（包括網(wǎng)絡(luò)文學(xué)和教科書(shū)），比韓國(guó)的11本.法國(guó)的20本.日本的40本.猶太人的64本少得多，是世界上人均讀書(shū)最少的國(guó)家.”這個(gè)論斷被各種媒體反復(fù)引用.出現(xiàn)這樣的統(tǒng)計(jì)結(jié)果無(wú)疑是令人尷尬的，而且和其他國(guó)家相比，我國(guó)國(guó)民的閱讀量如此之低，也和我國(guó)是傳統(tǒng)的文明古國(guó).禮儀之邦的地位不相符.某小區(qū)為了提高小區(qū)內(nèi)人員的讀書(shū)興趣，特舉辦讀書(shū)活動(dòng)，準(zhǔn)備進(jìn)一定量的書(shū)籍豐富小區(qū)圖書(shū)站，由于不同年齡段需看不同類型的書(shū)籍，為了合理配備資源，現(xiàn)對(duì)小區(qū)內(nèi)看書(shū)人員進(jìn)行年齡調(diào)查，隨機(jī)抽取了一天名讀書(shū)者進(jìn)行調(diào)查，將他們的年齡分成6段： ， ， ， ， ， 后得到如圖所示的頻率分布直方圖．問(wèn)：

（1）估計(jì)在40名讀書(shū)者中年齡分布在的人數(shù)；

（2）求40名讀書(shū)者年齡的平均數(shù)和中位數(shù)；

（3）若從年齡在的讀書(shū)者中任取2名，求恰有1名讀書(shū)者年齡在的概率．

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