【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)的最大值；

（Ⅲ）若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個實數(shù)根，分別求實數(shù)與的取值范圍．

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）,

【解析】

（Ⅰ）利用二倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式化簡，代入即可．
（Ⅱ）根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求得函數(shù)的增區(qū)間，進而確定的范圍．
（Ⅲ）把方程的根的問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點的問題，確定的范圍，根據(jù)函數(shù)的對稱，求得的值，進而表示出的表達式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定其范圍．

（Ⅰ）∵

∴

（Ⅱ）由

得

∴在區(qū)間上是增函數(shù)

∴當(dāng)時，在區(qū)間上是增函數(shù)

若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則

∴， 解得

∴的最大值是

（Ⅲ）方程在區(qū)間內(nèi)有兩實數(shù)根等價于

直線與曲線（）有兩個交點.

∵當(dāng)時， 由（Ⅱ）知在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)， 且

∴

即實數(shù)的取值范圍是

∵函數(shù)的圖象關(guān)于對稱

∴.

∵，∴.

∴.

∵函數(shù)在內(nèi)遞增

∴

∴

的取值范圍為.

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