【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，頂點(diǎn)在底面的射影恰好是菱形對(duì)角線的交點(diǎn)，且，，，，其中.

（1）當(dāng)時(shí)，求證：；

（2）當(dāng)與平面所成角的正弦值為時(shí)，求二面角的余弦值.

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）先證明面，再證明；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，由與面所成角的正弦值為得到.再利用向量法求二面角的余弦值.

解：（1）∵頂點(diǎn)在底面的射影是，

∴面，由面，∴.

∵，，，連，

∴，，，，

∴，則，∴.

由，，∴面，

由面，∴，

∵菱形，，

∴.

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，

∵，則，∴.

∵，則，∴，

設(shè)面的法向量為，由，解得.

由與面所成角的正弦值為，即有，解得.

設(shè)面的法向量為，由，解得.

∴二面角的余弦值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】從金山區(qū)走出去的陳馳博士，在《自然—可持續(xù)性》雜志上發(fā)表的論文中指出：地球正在變綠，中國(guó)通過植樹造林和提高農(nóng)業(yè)效率，在其中起到了主導(dǎo)地位．已知某種樹木的高度(單位：米)與生長(zhǎng)年限（單位：年，tN*）滿足如下的邏輯斯蒂函數(shù)：，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù). 設(shè)該樹栽下的時(shí)刻為0.

（1）需要經(jīng)過多少年，該樹的高度才能超過5米？（精確到個(gè)位）

（2）在第幾年內(nèi)，該樹長(zhǎng)高最快？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝m，點(diǎn)M是棱CD的中點(diǎn)．

（1）求異面直線B1C與AC1所成的角的大小；

（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使得直線AC1與平面BMD1垂直？說明理由；

（3）設(shè)P是線段AC1上的一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），滿足λ，求λ的值，使得三棱錐B1﹣CD1C1與三棱錐B1﹣CD1P的體積相等．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是他們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為___.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；

（Ⅱ）設(shè)PC與平面ABCD所成的角的正弦為，AP=1，AD=，求三棱錐E-ACD的體積.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若方程所表示的曲線為，則下面四個(gè)選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（ ）

A.若為橢圓，則B.若是雙曲線，則其離心率有

C.若為雙曲線，則或D.若為橢圓，且長(zhǎng)軸在軸上，則

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線C：經(jīng)過點(diǎn)，其焦點(diǎn)為F，M為拋物線上除了原點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過M的直線l與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)．

Ⅰ求拋物線C的方程以及焦點(diǎn)坐標(biāo)；

Ⅱ若與的面積相等，證明直線l與拋物線C相切．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)M(1,0)與橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線相互垂直．

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點(diǎn)M(1,0)的直線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)N(3，2)，記直線AN、BN的斜率分別為k1、k2,求證：k1+k2為定值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y2=8x上一點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離為6，若點(diǎn)P為拋物線C準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，則|OP|+|AP|的最小值為（　　）

A. 4B. C. D.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案