Question

設(shè)角A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角．
（Ⅰ）若

2

sin²

A

2

+sin

B+C

2

=

2

，求角A的大小；
（Ⅱ）設(shè)f（A）=sinA+2sin

A

2

，求當(dāng)A為何值時(shí)，f（A）取極大值，并求其極大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)

2

sin²

A

2

+sin

B+C

2

=

2

整理得cos

A

2

（

2

cos

A

2

-1）=0進(jìn)而求得cos

A

2

，進(jìn)而求得A．
（Ⅱ）對(duì)函數(shù)f（A）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)結(jié)果與0的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷出函數(shù)的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由已知，

2

sin²

A

2

+sin

π+A

2

=

2

，
即

2

sin²

A

2

+cos

A

2

=

2

，
所以

2

（1-cos2

A

2

）+cos

A

2

=

2

，
即cos

A

2

（

2

cos

A

2

-1）=0．
在△ABC中，因?yàn)?＜A＜π，則0＜

A

2

＜

π

2

，
所以cos

A

2

≠0，從而cos

A

2

=

2

2

．
從而

A

2

=

π

4

，即A=

π

2

．
（Ⅱ）因?yàn)閒′（A）=cosA+cos

A

2

=2cos2

A

2

+cos

A

2

-1=（2cos

A

2

-1）（cos

A

2

+1），
因?yàn)?＜A＜π，則cos

A

2

+1＞0．
由f′（A）＞0，得cos

A

2

＞

1

2

，
所以0＜

A

2

＜

π

3

，即0＜A＜

2π

3

．
所以當(dāng)A∈（0，

2π

3

）時(shí)，f（A）為增函數(shù)；
當(dāng)A∈（

2π

3

，π）時(shí)，f（A）為減函數(shù)．
故當(dāng)A=

2π

3

時(shí)，f（A）取極大值，
且極大值為f（

2π

3

）=

3 3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性．