Question

設(shè)角A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角．
（1）設(shè)f（A）=sinA+2sin

A

2

，當(dāng)A取A₀時(shí)，f（A）取極大值f（A₀），試求A₀和f（A₀）的值；
（2）當(dāng)A取A₀時(shí)，而

AB

•

AC

=-1，求BC邊長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)f′（A），由f′（A）＞0可得A的范圍，可得函數(shù)的單調(diào)性，可得極值點(diǎn)和極值；
（2）由（1）可得bc=2，由余弦定理可得a=

b2+c2+bc

由基本不等式可得．

解答：解：（1）∵f′（A）=cosA+cos

A

2

=2cos2

A

2

+cos

A

2

-1
=（2cos

A

2

-1）（cos

A

2

+1），
∵0＜A＜π，
∴cos

A

2

+1＞0，
由f′（A）＞0可得cos

A

2

＞

1

2

，
∴0＜

A

2

＜

π

3

，即0＜A＜

2π

3

故當(dāng)0＜A＜

2π

3

時(shí)，f（A）為增函數(shù)；
當(dāng)

2π

3

＜A＜π時(shí)，f（A）為減函數(shù)．
故當(dāng)A₀=

2π

3

時(shí)，f（A₀）取極大值f（

2π

3

）=

3 3

2

（2）由

AB

•

AC

=-1知bccos

2π

3

=-1，解得bc=2，
∴a=

b2+c2+bc

≥

2bc+bc

=

3bc

=

6

，
當(dāng)且僅當(dāng)b=c=

2

時(shí)，BC邊長(zhǎng)a的最小值為

6

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)量積的運(yùn)算，涉及三角函數(shù)的運(yùn)算和極值問題，以及基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題．