Question

在△ABC中，已知tan=sin（A+B），給出以下四個(gè)論斷：
①tanA×cotB=1②1＜sinA+sinB≤
③sin²A+cos²B=1    ④sin²A+sin²B+sin²C=2
其中一定正確的是    （填上所有正確論斷的序號(hào)）．

Answer 1

【答案】分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)兩角和與差的正弦函數(shù)，及三角函數(shù)中的恒等變形，由△ABC中三個(gè)內(nèi)角和為π，結(jié)合tan=sin（A+B）我們易判斷三個(gè)內(nèi)角A，B，C之間的關(guān)系，然后逐一對(duì)四個(gè)結(jié)論進(jìn)行判斷，即可得到答案．
解答：解：∵A+B+C=180°
∴sin（A+B）=sinC
又∵tan===sin（A+B），
∴cosC=0
即C=90°
∴A+B=90°
故tanA×cotB=tanA²=1不一定成立，故①錯(cuò)誤；
1＜sinA+sinB=sinA+cosA=sin（A+）≤，故②正確；
sin²A+cos²B=sin²A+sin²A=1 不一定成立，故③錯(cuò)誤；
sin²A+sin²B+sin²C=sin²A+cos²A+sin²C=2，故④正確；
故答案為：②④
點(diǎn)評(píng)：要根據(jù)某個(gè)恒成立的三角函數(shù)關(guān)系式，判斷三角形的形狀，一般的思路是分析角與角的關(guān)系，如果有三個(gè)角相等，則為等邊三角形；如果只能得到兩個(gè)角相等，則為普通的等腰三角形；如果兩個(gè)角和為90°，或一個(gè)角為90°，則為直角三角形．