Question

在△ABC中，已知B（-3，0），C（3，0），D為線段BC上一點，

AD

•

BC

=0，H是△ABC的垂心，且

AH

=3

HD

．
（Ⅰ）求點H的軌跡M的方程；
（Ⅱ）若過C點且斜率為-

1

2

的直線與軌跡M交于點P，點Q（t，0）是x軸上任意一點，求當△CPQ為銳角三角形時t的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設H（x，y），A（x₀，y₀），則由

AD

•

BC

=0知，AD是△ABC的高，所以x₀=x．由

AC

=3

HD

，得y0=4y．由此能求出點H的軌跡M的方程．
（Ⅱ）役直線CP的方程為y=-

1

2

(x-3)．由

y=- 1 2 (x-3) x2+4y2=9

，解得點P的坐標為(0，

3

2

)．由此進行分類討論，能求出當△CPQ為銳角三角形時t的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）設H（x，y），A（x₀，y₀），
則由

AD

•

BC

=0知，AD是△ABC的高，
∴x₀=x．
由

AH

=3

HD

得y₀=4y
∴A（x，4y）．…（1分）
∴

AC

=(3-x，-4y)，

BH

=(x+3，y)．…（2分）
∵H是△ABC的垂心，

BH

•

AC

=0，…（4分）
∴（3-x，-4y）•（x+3，y）=0，
即x²+4y²=9（y≠0）．…（6分）（y≠0漏寫扣1分）
（Ⅱ）直線CP的方程為y=-

1

2

(x-3)．
由

y=- 1 2 (x-3) x2+4y2=9

，
解得點P的坐標為(0，

3

2

)．…（7分）
（i）∵kCP=-

1

2

，
∴當∠PCQ是銳角時，點Q只能在點C的左側，此時t＜3．…（8分）
（ii）當∠PQC為銳角時，k_PQ＞0，此時t＜0；…（9分）
（iii）當∠QPC為銳角時，

PQ

•

PC

＞0，
即(t，-

3

2

)•(3，-

3

2

)＞0，t＞-

3

4

．…（11分）
∴-

3

4

＜t＜0．…（12分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．