Question

在△ABC中，已知B（-3，0），C（3，0），D為線段BC上一點(diǎn)，，H是△ABC的垂心，且．
（Ⅰ）求點(diǎn)H的軌跡M的方程；
（Ⅱ）若過C點(diǎn)且斜率為的直線與軌跡M交于點(diǎn)P，點(diǎn)Q（t，0）是x軸上任意一點(diǎn)，求當(dāng)△CPQ為銳角三角形時(shí)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)H（x，y），A（x，y），則由知，AD是△ABC的高，所以x=x．由．由此能求出點(diǎn)H的軌跡M的方程．
（Ⅱ）役直線CP的方程為．由，解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為．由此進(jìn)行分類討論，能求出當(dāng)△CPQ為銳角三角形時(shí)t的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)H（x，y），A（x，y），
則由知，AD是△ABC的高，
∴x=x．
由．
∴A（x，4y）．…（1分）
∴．…（2分）
∵H是△ABC的垂心，，…（4分）
∴（3-x，-4y）•（x+3，y）=0，
即x²+4y²=9（y≠0）．…（6分）（y≠0漏寫扣1分）
（Ⅱ）直線CP的方程為．
由，
解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為．…（7分）
（i）∵，
∴當(dāng)∠PCQ是銳角時(shí)，點(diǎn)Q只能在點(diǎn)C的左側(cè)，此時(shí)t＜3．…（8分）
（ii）當(dāng)∠PQC為銳角時(shí)，k_PQ＞0，此時(shí)t＜0；…（9分）
（iii）當(dāng)∠QPC為銳角時(shí)，，
即．…（11分）
∴．…（12分）
點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)是知識體系不牢固．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．