Question

一個幾何體是由圓柱ADD₁A₁和三棱錐E-ABC組合而成，點A、B、C在圓O的圓周上，其正（主）視圖、側(cè)（左）視圖的面積分別為10和12，如圖2所示，其中EA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC，AE=2．

（1）求證：AC⊥BD；
（2）求三棱錐E-BCD的體積．

Answer 1

（1）證明：因為EA⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以EA⊥AC，即ED⊥AC．
又因為AC⊥AB，AB∩ED=A，所以AC⊥平面EBD．
因為BD?平面EBD，所以AC⊥BD．（4分）
（2）因為點A、B、C在圓O的圓周上，且AB⊥AC，所以BC為圓O的直徑．
設圓O的半徑為r，圓柱高為h，根據(jù)正（主）視圖、側(cè)（左）視圖的面積可得，

2rh+ 1 2 r×2=10 2rh+ 1 2 ×2r×2=12.

（6分）
解得

r=2 h=2.

所以BC=4，AB=AC=2

2

．
以下給出求三棱錐E-BCD體積的兩種方法：
方法1：由（1）知，AC⊥平面EBD，
所以VE-BCD=VC-EBD=

1

3

S△EBD×CA．（10分）
因為EA⊥平面ABC，AB?平面ABC，
所以EA⊥AB，即ED⊥AB．
其中ED=EA+DA=2+2=4，因為AB⊥AC，AB=AC=2

2

，
所以S△EBD=

1

2

×ED×AB=

1

2

×4×2

2

=4

2

．（13分）
所以VE-BCD=

1

3

×4

2

×2

2

=

16

3

．（14分）
方法2：因為EA⊥平面ABC，
所以VE-BCD=VE-ABC+VD-ABC=

1

3

S△ABC×EA+

1

3

S△ABC×DA=

1

3

S△ABC×ED．（10分）
其中ED=EA+DA=2+2=4，因為AB⊥AC，AB=AC=2

2

，
所以S△ABC=

1

2

×AC×AB=

1

2

×2

2

×2

2

=4．（13分）
所以VE-BCD=

1

3

×4×4=

16

3

．（14分）