Question

【題目】如圖,已知拋物線C:x2=4y,過(guò)點(diǎn)M(0,2)任作一直線與C相交于A,B兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B作y軸的平行線與直線AO相交于點(diǎn)D(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).

(1)證明動(dòng)點(diǎn)D在定直線上;

(2)作C的任意一條切線l(不含x軸),與直線y=2相交于點(diǎn)N1,與(1)中的定直線相交于點(diǎn)N2,證明|MN2|2-|MN1|2為定值,并求此定值.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析.

(2)證明見(jiàn)解析；|MN2|2-|MN1|2為定值8.

【解析】分析：（1）設(shè)，方程為，則為方程的解，從而，而，利用前者可以得到，從而在定直線上.

（2）設(shè)切線方程為，由直線和拋物線相切可以得到，從而得到的坐標(biāo)，它們和有關(guān)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式可以得到.

詳解：(1)證明:依題意可設(shè)方程為，代入，

得 ，即.

設(shè)，則有，

直線的方程為； 的方程為.

解得交點(diǎn)的坐標(biāo)，注意到 及，

則有.

因此點(diǎn)在定直線.

(2)解:依題設(shè),切線的斜率存在且不等于,設(shè)切線的方程為，

代入得，即.

由得，化簡(jiǎn)整理得.

故切線的方程可寫為.

分別令得的坐標(biāo)為，，

則，即為定值.